Calcule as derivadas das funções abaixo: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa calcular as derivadas dela. Isso está dentro da matéria de Cálculo, especificamente sobre derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos usar regras como a regra do produto, a regra da cadeia e a regra do logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira componente da função: . Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos identificar e . Agora, vamos derivar cada uma:
  • Derivada de : Usamos a regra da cadeia. A derivada de é . Aqui, , então . Assim, .
  • Derivada de : A derivada de é .

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos derivar a segunda componente: . Aqui, temos o logaritmo de um produto, então podemos usar propriedades dos logaritmos e a regra da cadeia para derivar.

Passo 6

Primeiro, lembrando que , então:
Agora, vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 7

Derivando :
Derivando :

Passo 8

Juntando as derivadas:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
(a)
(b)
©
(d)
Calcule as derivadas das funções abaixo: ;
Considere a função dada por
(a) Existe algum valor de que torna a função contínua em ? Se sim, exiba-o. Justifique sua resposta.
(b) Existe algum valor de que torna a função contínua em ? Se sim, exiba-o. Justifique sua resposta.