Calcule as derivadas das funções abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa calcular as derivadas dela. Isso está dentro da matéria de Cálculo, especificamente sobre derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos usar regras como a regra do produto, a regra da cadeia e a regra do logaritmo.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a primeira componente da função:
. Aqui, temos um produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Vamos identificar
e
. Agora, vamos derivar cada uma:
- Derivada de
: Usamos a regra da cadeia. A derivada de é . Aqui, , então . Assim, . - Derivada de
: A derivada de é .
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos derivar a segunda componente:
. Aqui, temos o logaritmo de um produto, então podemos usar propriedades dos logaritmos e a regra da cadeia para derivar.
Passo 6
Primeiro, lembrando que
, então:
Agora, vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 7
Derivando
:
Derivando
:
Passo 8
Juntando as derivadas:
Resposta
A derivada da função
é: