Considere a função f: R R dada por
f(x)=ccc sen(2 x-2)x-1 & se & x<1 a & se & x=1 x^3-6 x^2+11 x-6x^3-7 x^2+15 x-9 & se & 1= 3
(a) Existe algum valor de a que torna a função f contínua em x=1 ? Se sim, exiba-o. Justifique sua resposta.
(b) Existe algum valor de b que torna a função f contínua em x=3 ? Se sim, exiba-o. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de forma diferente em vários intervalos de . O exercício está pedindo para verificar se a função é contínua nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender continuidade de funções e como calcular limites. Vamos analisar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): Existe algum valor de limx to 1^- f(x) = a que torna a função contínua em ?
Para a função ser contínua em , o limite de quando se aproxima de 1 pelo lado esquerdo deve ser igual ao valor da função em , ou seja, .
Então, precisamos calcular:

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda:
f(x) = sin(2x - 2)x - 1 quando x < 1
Substituindo limx to 1^- sin(2x - 2)x - 1 = limx to 1^- sin(2(x - 1))x - 1 :
limh to 0 sin(2h)h = 2 cdot limh to 0 sin(2h)2h = 2 cdot 1 = 2
Fazendo uma substituição limx to 1^- f(x) = 2 , com :
Então,

Passo 4

Para a função ser contínua em a = limx to 1^- f(x) = 2 :
Portanto, o valor de que torna contínua em é 2.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): Existe algum valor de limx to 3^- f(x) = b que torna a função contínua em ?
Aqui, precisamos que o limite de quando se aproxima de 3 pelo lado esquerdo seja igual ao valor de em , que é .
Ou seja:

Passo 6

Vamos calcular o limite pela esquerda:
f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6x^3 - 7x^2 + 15x - 9 quando 1 < x < 3
Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar.
Numerador:
x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)
Denominador:
x^3 - 7x^2 + 15x - 9 = (x - 1)(x - 3)^2
Então, a função fica:
f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 1)(x - 3)^2 = (x - 2)(x - 3)
Agora, calculamos o limite:
limx to 3^- x - 2x - 3 = 3 - 23 - 3^- = 10^- = -infty
Isso significa que o limite tende a menos infinito.

Passo 7

Como o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda é , não existe um valor real de que possa igualar isso. Portanto, não há valor de que torne a função contínua em .

Resposta

a) Sim, torna contínua em .
b) Não existe valor de que torne contínua em .

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