Considere a função dada por
(a) Existe algum valor de que torna a função contínua em ? Se sim, exiba-o. Justifique sua resposta.
(b) Existe algum valor de que torna a função contínua em ? Se sim, exiba-o. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de forma diferente em vários intervalos de . O exercício está pedindo para verificar se a função é contínua nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender continuidade de funções e como calcular limites. Vamos analisar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): Existe algum valor de que torna a função contínua em ?
Para a função ser contínua em , o limite de quando se aproxima de 1 pelo lado esquerdo deve ser igual ao valor da função em , ou seja, .
Então, precisamos calcular:

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda:
Substituindo :
Fazendo uma substituição , com :
Então,

Passo 4

Para a função ser contínua em :
Portanto, o valor de que torna contínua em é 2.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): Existe algum valor de que torna a função contínua em ?
Aqui, precisamos que o limite de quando se aproxima de 3 pelo lado esquerdo seja igual ao valor de em , que é .
Ou seja:

Passo 6

Vamos calcular o limite pela esquerda:
Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar.
Numerador:
Denominador:
Então, a função fica:
Agora, calculamos o limite:
Isso significa que o limite tende a menos infinito.

Passo 7

Como o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda é , não existe um valor real de que possa igualar isso. Portanto, não há valor de que torne a função contínua em .

Resposta

a) Sim, torna contínua em .
b) Não existe valor de que torne contínua em .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas das funções abaixo: ;
Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
(a)
(b)
©
(d)
Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo: no ponto de abscissa e ordenada possuem o mesmo valor