Esboce o gráfico da função F(x)=integral2^x f(t) d t quando f é uma das funções a seguir ( [[x]] é parte inteira de x )
c) f(x)=x-[[x]].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o gráfico da função , onde . Aqui, representa a parte inteira de . Vamos usar conceitos de cálculo integral e entender o que essa função faz para construir o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Essa expressão calcula a parte fracionária de . Por exemplo, se , então e . Essa função é periódica com período 1 e varia de 0 a 1 em cada intervalo inteiro.

Passo 3

Agora, vamos analisar . Essa é a integral definida de de 2 até . Graficamente, representa a área acumulada de a partir de até .

Passo 4

Para esboçar , precisamos dividir o intervalo de integração em partes onde tem comportamento simples. Como é periódica com período 1, vamos considerar intervalos de onde é inteiro.

Passo 5

Dentro de cada intervalo integraln^x (t - n) , dt = (x - n)^22 , . A integral de de a (com entre e ) é:
Isso nos dá a área acumulada em cada intervalo.

Passo 6

Vamos calcular F(x) = 0 + (x - 2)^22 em diferentes intervalos, começando de F(x) = (3 - 2)^22 + (x - 3)^22 = 12 + (x - 3)^22 :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante para cada intervalo seguinte.

Passo 7

Observando os cálculos, percebemos que é uma função em partes, onde em cada intervalo a função é uma parábola crescente começando de onde a anterior parou. Isso cria um gráfico que tem segmentos de parábolas conectados suavemente, formando uma curva contínua.

Passo 8

Para esboçar o gráfico:
  1. Comece em com .
  2. Em cada intervalo , desenhe uma parábola começando do valor final do intervalo anterior.
  3. As parábolas terão concavidade para cima e crescerão à medida que aumenta.
  4. Repita isso para vários intervalos para visualizar o comportamento geral da função.

Resposta

O gráfico de é uma função contínua composta por segmentos de parábolas crescentes em cada intervalo inteiro de . Cada segmento começa no ponto onde o anterior terminou, formando uma curva suave que acumula a área da parte fracionária de a partir de .

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