Esboce o gráfico da função
quando
é uma das funções a seguir (
é parte inteira de
)
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
, onde
. Aqui,
representa a parte inteira de
. Vamos usar conceitos de cálculo integral e entender o que essa função faz para construir o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Essa expressão calcula a parte fracionária de
. Por exemplo, se
, então
e
. Essa função é periódica com período 1 e varia de 0 a 1 em cada intervalo inteiro.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. Essa é a integral definida de
de 2 até
. Graficamente,
representa a área acumulada de
a partir de
até
.
Passo 4
Para esboçar
, precisamos dividir o intervalo de integração em partes onde
tem comportamento simples. Como
é periódica com período 1, vamos considerar intervalos de
onde
é inteiro.
Passo 5
Dentro de cada intervalo
,
. A integral de
de
a
(com
entre
e
) é:
Isso nos dá a área acumulada em cada intervalo.
Passo 6
Vamos calcular
em diferentes intervalos, começando de
:
-
Para
: -
Para
: -
E assim por diante para cada intervalo seguinte.
Passo 7
Observando os cálculos, percebemos que
é uma função em partes, onde em cada intervalo
a função é uma parábola crescente começando de onde a anterior parou. Isso cria um gráfico que tem segmentos de parábolas conectados suavemente, formando uma curva contínua.
Passo 8
Para esboçar o gráfico:
- Comece em
com . - Em cada intervalo
, desenhe uma parábola começando do valor final do intervalo anterior. - As parábolas terão concavidade para cima e crescerão à medida que
aumenta. - Repita isso para vários intervalos para visualizar o comportamento geral da função.
Resposta
O gráfico de
é uma função contínua composta por segmentos de parábolas crescentes em cada intervalo inteiro de
. Cada segmento começa no ponto onde o anterior terminou, formando uma curva suave que acumula a área da parte fracionária de
a partir de
.
Exercícios relacionados
a) Encontre um exemplo de uma função
limitada, tal que existe
com a propriedade que
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de
).
(a) ,
(a)
Calcule as derivadas das funções a seguir (esclareça antes o domínio natural da função):
(d)
(d)
vale 0