a) Encontre um exemplo de uma função limitada, tal que existe com a propriedade que

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma função que seja limitada. Além disso, deve existir um número dentro do intervalo tal que a integral de de 0 a 1 seja igual ao valor da função nesse ponto . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais, que nos ajuda a relacionar a integral de uma função com o valor da função em algum ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma função simples que seja fácil de trabalhar e que seja limitada no intervalo [0,1]. Uma boa escolha é a função . Essa função é claramente limitada, já que para todos em [0,1], também está em [0,1].

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de de 0 a 1:
Para resolver essa integral, usamos a regra básica de integração para polinômios. A antiderivada de é , então calculamos:
Portanto, a integral de de 0 a 1 é .

Passo 4

Segundo o Teorema do Valor Médio para Integrais, existe pelo menos um ponto em tal que:
Substituindo o valor que encontramos para a integral:
Isso nos diz que deve ser igual a .

Resposta

Um exemplo é a função definida em [0,1]. Para esta função, existe em (0,1) que satisfaz .

Exercícios relacionados

Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de ).
(a) ,
Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
c) duas funções tais que e
Esboce o gráfico da função quando é uma das funções a seguir ( é parte inteira de )
c) .
Calcule as derivadas das funções a seguir (esclareça antes o domínio natural da função):
(d)