a) Encontre um exemplo de uma função f:[0,1] R limitada, tal que existe c in(a, b) com a propriedade que integral0^1 f(x) d x=f(c)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma função que seja limitada. Além disso, deve existir um número dentro do intervalo tal que a integral de de 0 a 1 seja igual ao valor da função nesse ponto . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais, que nos ajuda a relacionar a integral de uma função com o valor da função em algum ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma função simples que seja fácil de trabalhar e que seja limitada no intervalo [0,1]. Uma boa escolha é a função . Essa função é claramente limitada, já que para todos em [0,1], também está em [0,1].

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de integral0^1 x , dx de 0 a 1:
[ x^22 ]0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 - 0 = 12
Para resolver essa integral, usamos a regra básica de integração para polinômios. A antiderivada de é , então calculamos:
Portanto, a integral de de 0 a 1 é .

Passo 4

Segundo o Teorema do Valor Médio para Integrais, existe pelo menos um ponto integral0^1 f(x) , dx = f(c) em 12 = f(c) = c tal que:
Substituindo o valor que encontramos para a integral:
Isso nos diz que deve ser igual a .

Resposta

Um exemplo é a função definida em [0,1]. Para esta função, existe em (0,1) que satisfaz .

Exercícios relacionados