a) Encontre um exemplo de uma função
limitada, tal que existe
com a propriedade que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma função
que seja limitada. Além disso, deve existir um número
dentro do intervalo
tal que a integral de
de 0 a 1 seja igual ao valor da função nesse ponto
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais, que nos ajuda a relacionar a integral de uma função com o valor da função em algum ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma função simples que seja fácil de trabalhar e que seja limitada no intervalo [0,1]. Uma boa escolha é a função
. Essa função é claramente limitada, já que para todos
em [0,1],
também está em [0,1].
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de
de 0 a 1:
Para resolver essa integral, usamos a regra básica de integração para polinômios. A antiderivada de
é
, então calculamos:
Portanto, a integral de
de 0 a 1 é
.
Passo 4
Segundo o Teorema do Valor Médio para Integrais, existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Substituindo o valor que encontramos para a integral:
Isso nos diz que
deve ser igual a
.
Resposta
Um exemplo é a função
definida em [0,1]. Para esta função, existe
em (0,1) que satisfaz
.
Exercícios relacionados
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de
).
(a) ,
(a)
Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
c) duas funções tais que
e
c) duas funções
Esboce o gráfico da função
quando
é uma das funções a seguir (
é parte inteira de
)
c) .
c)
Calcule as derivadas das funções a seguir (esclareça antes o domínio natural da função):
(d)
(d)