Calcule as derivadas das funções a seguir:
sen(x)/(x^e * e^x).

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função . Isso envolve conhecimentos de derivadas de funções trigonométricas, exponenciais e da regra do quociente. Vamos precisar usar a regra do quociente e a regra do produto para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Podemos pensar na função como uma divisão entre dois pedaços:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Para derivar , usamos a regra do quociente, que diz:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de e separadamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador :
Pois a derivada do seno é o cosseno.

Passo 5

Agora, vamos derivar o denominador . Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto:

Passo 6

Vamos calcular e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Então,

Passo 7

Agora, substituímos , , e na fórmula da regra do quociente:

Passo 8

Vamos simplificar o numerador:
Podemos fatorar :
E o denominador fica:

Passo 9

Cancelando do numerador e denominador:

Passo 10

Para simplificar ainda mais, podemos fatorar no numerador:

Resposta

A derivada da função é

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