Calcule as derivadas das funções a seguir:
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função
. Isso envolve conhecimentos de derivadas de funções trigonométricas, exponenciais e da regra do quociente. Vamos precisar usar a regra do quociente e a regra do produto para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Podemos pensar na função como uma divisão entre dois pedaços:
- Numerador:
- Denominador:
Passo 3
Para derivar
, usamos a regra do quociente, que diz:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de
e
separadamente.
Passo 4
Vamos derivar o numerador
:
Pois a derivada do seno é o cosseno.
Passo 5
Agora, vamos derivar o denominador
. Aqui, temos um produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto, usamos a regra do produto:
Passo 6
Vamos calcular
e
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Então,
Passo 7
Agora, substituímos
,
,
e
na fórmula da regra do quociente:
Passo 8
Vamos simplificar o numerador:
Podemos fatorar
:
E o denominador fica:
Passo 9
Cancelando
do numerador e denominador:
Passo 10
Para simplificar ainda mais, podemos fatorar
no numerador:
Resposta
A derivada da função é