Calcule as derivadas das funções a seguir:
sen(cos(tg(e^x))).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Precisamos calcular a derivada da função . Esse exercício envolve a aplicação da regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. Vamos precisar lembrar das derivadas das funções seno, cosseno, tangente e exponencial para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas da função composta que temos:
  1. – a função exponencial.
  2. – a tangente de .
  3. – o cosseno do resultado anterior.
  4. – o seno do último resultado.
Para derivar essa função, vamos aplicar a regra da cadeia várias vezes, começando de fora para dentro.

Passo 3

Vamos começar derivando a camada mais externa, que é o seno. Sabemos que a derivada de em relação a é . Então, aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos derivar a próxima camada interna, que é . A derivada de em relação a é . Então:
ó

Passo 5

Seguimos para derivar . A derivada de em relação a é . Assim:
ú

Passo 6

Por fim, derivamos . A derivada de em relação a é simplesmente . Então, colocando tudo junto:

Resposta

A derivada da função é:

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