Calcule as derivadas parciais
de:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais
e
da função
. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas e funções inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
(
) significa que a gente vê como a função muda quando apenas
varia, mantendo
e
constantes. O mesmo vale para
, onde só
muda.
Passo 3
Vamos começar calculando
, a derivada parcial em relação a
. A função é
. Precisamos derivar cada termo em relação a
.
Passo 4
Primeiro, derivamos
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
, e pela regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de
em relação a
. Aqui,
, cuja derivada é
. Então:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
, e novamente aplicamos a regra da cadeia. Aqui,
, cuja derivada em relação a
é
. Então:
Passo 6
Juntando os dois resultados, temos a derivada parcial
:
Passo 7
Agora vamos calcular
, a derivada parcial em relação a
. Olhando para a função
, vemos que apenas o segundo termo depende de
.
Passo 8
Derivamos
em relação a
. Novamente, usamos a derivada de
que é
, e a derivada de
em relação a
é 1. Então:
Passo 9
Como o primeiro termo
não depende de
, sua derivada em relação a
é zero. Portanto, a derivada parcial
é:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
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Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
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