Calcule as derivadas parciais de: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais e da função . Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas e funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a ( ) significa que a gente vê como a função muda quando apenas varia, mantendo e constantes. O mesmo vale para , onde só muda.

Passo 3

Vamos começar calculando , a derivada parcial em relação a . A função é . Precisamos derivar cada termo em relação a .

Passo 4

Primeiro, derivamos em relação a . A derivada de em relação a é , e pela regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de em relação a . Aqui, , cuja derivada é . Então:

Passo 5

Agora, derivamos em relação a . A derivada de em relação a é , e novamente aplicamos a regra da cadeia. Aqui, , cuja derivada em relação a é . Então:

Passo 6

Juntando os dois resultados, temos a derivada parcial :

Passo 7

Agora vamos calcular , a derivada parcial em relação a . Olhando para a função , vemos que apenas o segundo termo depende de .

Passo 8

Derivamos em relação a . Novamente, usamos a derivada de que é , e a derivada de em relação a é 1. Então:

Passo 9

Como o primeiro termo não depende de , sua derivada em relação a é zero. Portanto, a derivada parcial é:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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