Calcule as Derivadas parciais indicadas
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de derivadas parciais, que nos permite encontrar a taxa de variação de uma função em uma direção específica mantendo a outra variável constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante.
A função é:
Para derivar em relação a
, usamos a regra do produto, já que temos três fatores multiplicando:
,
, e
.
Vamos derivar passo a passo:
Primeiro, diferencie
:
Em seguida, mantenha os outros fatores constantes e multiplique:
Agora, derivamos
em relação a
:
Substituindo de volta:
Fatorando
:
Passo 3
Agora, vamos calcular
substituindo
e
na expressão que encontramos:
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tratamos
como uma constante.
A função é:
Derivando em relação a
:
Usamos novamente a regra do produto. Primeiramente, diferencie
:
Então:
Derivando
em relação a
:
Substituindo de volta:
Fatorando
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
substituindo
e
na expressão que encontramos:
Resposta
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e
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(43)
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(48)
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