Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método da substituição. Esse método é útil quando conseguimos identificar uma parte da integral que, se substituída por uma nova variável, simplifica a resolução. Aqui, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e propriedades de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a integral:
. Notamos que temos uma função trigonométrica no numerador (
) e outra no denominador (
). Isso sugere que podemos usar a substituição para simplificar.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
como sendo a função dentro da raiz cúbica no denominador. Então, seja:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, para substituir
na integral.
Passo 4
Calculando a derivada:
Isso significa que:
Perfeito! Observamos que
aparece na integral original, o que facilita a substituição.
Passo 5
Substituindo
e
na integral original, temos:
Isso simplifica a integral para termos em função de
, facilitando o cálculo.
Passo 6
Agora, vamos reescrever
em termos de potências para simplificar a expressão:
Então, a integral fica:
Passo 7
Para integrar
, usamos a regra da potência para integrais, que diz que
, onde
é a constante de integração, desde que
.
Aqui,
, então:
Passo 8
Agora, substituímos
de volta para a variável original
. Lembrando que
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(43)
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Calcule as Derivadas parciais indicadas
e
Determine as Derivadas solicitadas em cada caso:
e
Calcule as Derivadas parciais indicadas
e