Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(48)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é útil quando conseguimos identificar uma parte da integral que, se substituída por uma nova variável, simplifica a resolução. Aqui, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e propriedades de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral: . Notamos que temos uma função trigonométrica no numerador ( ) e outra no denominador ( ). Isso sugere que podemos usar a substituição para simplificar.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável como sendo a função dentro da raiz cúbica no denominador. Então, seja:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , para substituir na integral.

Passo 4

Calculando a derivada:
Isso significa que:
Perfeito! Observamos que aparece na integral original, o que facilita a substituição.

Passo 5

Substituindo e na integral original, temos:
Isso simplifica a integral para termos em função de , facilitando o cálculo.

Passo 6

Agora, vamos reescrever em termos de potências para simplificar a expressão:
Então, a integral fica:

Passo 7

Para integrar , usamos a regra da potência para integrais, que diz que , onde é a constante de integração, desde que .
Aqui, , então:

Passo 8

Agora, substituímos de volta para a variável original . Lembrando que :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(43)
Calcule as Derivadas parciais indicadas
e
Determine as Derivadas solicitadas em cada caso: e
Calcule as Derivadas parciais indicadas e