Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais da função
, que está definida da seguinte forma:
Estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, que é uma parte do cálculo que lida com taxas de variação de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente para derivadas e também entender como calcular derivadas em pontos específicos, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
, para o caso em que
.
A regra do quociente nos diz que se temos uma função
, então a derivada em relação a
é:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas individuais:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
, novamente para
.
Usamos a mesma regra do quociente:
Desta vez,
e
.
Calculando as derivadas individuais:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Fatorando:
Portanto, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais no ponto
. Vamos começar com
.
A definição de derivada parcial em
no ponto
é:
Como
, temos:
Calculando
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
.
A definição de derivada parcial em
no ponto
é:
Como
, temos:
Calculando
:
Então:
Esse limite não existe porque à medida que
se aproxima de 0,
tende para
ou
dependendo da direção de
. Portanto, a derivada parcial em
no ponto
não existe.
Resposta
As derivadas parciais da função
são: