Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: f(x, y) = { (x^5 - y^4) / (x^4 + y^4), se (x, y) ≠ (0,0) ; 0, se (x, y) = (0,0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais da função , que está definida da seguinte forma:
Estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, que é uma parte do cálculo que lida com taxas de variação de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente para derivadas e também entender como calcular derivadas em pontos específicos, como .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, , para o caso em que .
A regra do quociente nos diz que se temos uma função , então a derivada em relação a é:
Aqui, e .
Calculando as derivadas individuais:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, , novamente para .
Usamos a mesma regra do quociente:
Desta vez, e .
Calculando as derivadas individuais:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Fatorando:
Portanto, a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais no ponto . Vamos começar com .
A definição de derivada parcial em no ponto é:
Como , temos:
Calculando :
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular .
A definição de derivada parcial em no ponto é:
Como , temos:
Calculando :
Então:
Esse limite não existe porque à medida que se aproxima de 0, tende para ou dependendo da direção de . Portanto, a derivada parcial em no ponto não existe.

Resposta

As derivadas parciais da função são:
ã

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