Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: f(x, y) = 5 x^3 + 4 x^2 y^2 + y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas parciais, que nos permite entender como a função muda em relação a uma variável enquanto a outra fica fixa. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar termos com uma ou mais variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Nesse caso, tratamos como uma constante.
A função é:
Vamos derivar termo por termo:
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a :
    Aqui, é tratado como uma constante.
  3. Derivada de em relação a :
    Como é constante, a derivada de uma constante é zero.
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante.
A função continua:
Derivando termo por termo:
  1. Derivada de em relação a :
    Já que é constante em relação a .
  2. Derivada de em relação a :
  3. Derivada de em relação a :
Somando tudo:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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