Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: f(x, y) = raiz(x^3 + x * y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . A função pode ser escrita como . Usamos a regra da cadeia aqui: a derivada de em relação a é .

Passo 3

Aplicando isso, temos:
Agora, derivamos em relação a :
Então:

Passo 4

Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Novamente, usamos a regra da cadeia:
Derivando em relação a :
Então:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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