Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funçōes:
Passo 1
Então, a gente vai calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e depois aplicar isso duas vezes para obter as derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Como estamos derivando em relação a
e tratando
como uma constante, a função
é uma constante em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante e derivamos
em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
:
Passo 4
Agora que temos as primeiras derivadas parciais, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Primeiro, vamos derivar
em relação a
e depois em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Porque
não depende de
, então a derivada é zero.
Passo 5
Em seguida, vamos derivar
em relação a
:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aqui,
é tratado como constante, então a derivada de
em relação a
é 2.
Passo 7
Por fim, vamos derivar
em relação a
:
Multiplicamos
pela derivada de
, que é
.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: