Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funçōes: f(x, y) = x * e^(2 * y)

Passo 1

Então, a gente vai calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e depois aplicar isso duas vezes para obter as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a , ou seja, . Como estamos derivando em relação a e tratando como uma constante, a função é uma constante em relação a .
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A derivada de em relação a é :

Passo 4

Agora que temos as primeiras derivadas parciais, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Primeiro, vamos derivar em relação a e depois em relação a .
Derivando em relação a :
Porque não depende de , então a derivada é zero.

Passo 5

Em seguida, vamos derivar em relação a :
Isso porque a derivada de em relação a é .

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a :
Aqui, é tratado como constante, então a derivada de em relação a é 2.

Passo 7

Por fim, vamos derivar em relação a :
Multiplicamos pela derivada de , que é .

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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