Determine a série de Taylor das seguintes funções no ponto que se indica.
em
Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar a série de Taylor da função
no ponto
. Para isso, precisamos entender o que é uma série de Taylor e como ela pode ser usada para aproximar funções próximas a um ponto específico.
Passo 2
A série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é dada pela fórmula:
Aqui,
representa a n-ésima derivada de
avaliada no ponto
, e
é o fatorial de
. Essa série nos permite aproximar a função
por um polinômio infinito que se torna mais preciso quanto mais termos adicionamos.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
. Uma característica legal dessa função é que todas as suas derivadas são iguais a ela mesma. Ou seja:
Isso significa que, independente da ordem da derivada, o resultado será sempre
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Portanto, todas as derivadas de
no ponto 4 são iguais a
.
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
Isso significa que a série de Taylor para
em torno de
é um somatório onde cada termo é
.
Resposta
A série de Taylor de
no ponto
é: