Determine a série de Taylor das seguintes funções no ponto que se indica.
f(x) = e^x em a = 4

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar a série de Taylor da função no ponto . Para isso, precisamos entender o que é uma série de Taylor e como ela pode ser usada para aproximar funções próximas a um ponto específico.

Passo 2

A série de Taylor de uma função em torno de um ponto é dada pela fórmula:
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada no ponto , e é o fatorial de . Essa série nos permite aproximar a função por um polinômio infinito que se torna mais preciso quanto mais termos adicionamos.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de . Uma característica legal dessa função é que todas as suas derivadas são iguais a ela mesma. Ou seja:
Isso significa que, independente da ordem da derivada, o resultado será sempre .

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Portanto, todas as derivadas de no ponto 4 são iguais a .

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
Isso significa que a série de Taylor para em torno de é um somatório onde cada termo é .

Resposta

A série de Taylor de no ponto é:

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