Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
sumn=0^infty e^n2^2 n(x-raiz3)^3 n-5

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências escrita assim:
sumn=0^infty e^n2^2n (x - raiz3)^3n-5
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, encontrar o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série se comporta bem.

Passo 2

Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz para considerar o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar an = e^n2^2n (x - raiz3)^3n-5 da nossa série:
an+1 = e^n+12^2(n+1) (x - raiz3)^3(n+1)-5
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Vamos montar a razão an+1an = e^n+12^2(n+1) (x - raiz3)^3(n+1)-5e^n2^2n (x - raiz3)^3n-5:
an+1an = e^n+1e^n cdot 2^2n2^2(n+1) cdot (x - raiz3)^3n+3-5(x - raiz3)^3n-5
Simplificando os termos:
an+1an = e cdot 12^2 cdot (x - raiz3)^3 = e4 (x - raiz3)^3
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, aplicamos o limite para o Teste da Razão:
L = limn to infty | e4 (x - raiz3)^3 | = | e4 (x - raiz3)^3 |
Para a série convergir, precisamos que | e4 (x - raiz3)^3 | < 1:

Passo 6

Vamos resolver a desigualdade:
| (x - raiz3)^3 | < 4e
Como a potência é ímpar, podemos tirar a raiz cúbica dos dois lados:
|x - raiz3| < ( 4e )^1/3

Passo 7

Calculando o valor numérico de ( 42,718 )^1/3 approx ( 1,471 )^1/3 approx 1,130:
Sabemos que , então:

Passo 8

Agora, podemos expressar o intervalo de convergência em termos de raiz3 - 1,130 < x < raiz3 + 1,130:
1,732 - 1,130 < x < 1,732 + 1,130
Calculando 0,602 < x < 2,862:

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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