Determine a série de Taylor das seguintes funções no ponto que se indica.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Séries de Taylor. O objetivo é encontrar a série de Taylor da função
centrada no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir uma função em série em torno de um ponto específico usando a fórmula da série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão. Começamos substituindo
por
para destacar o ponto em torno do qual estamos expandindo:
Passo 3
Simplificando dentro do denominador:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o 7 para facilitar a expansão:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Observamos que essa forma se parece com a série geométrica padrão:
Aqui, queremos que o denominador seja
, então vamos ajustar nossa expressão:
Passo 6
Agora, identificamos
e podemos substituir na série geométrica:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
Substituindo de volta:
Resposta
A série de Taylor da função
centrada em
é: