Determine a série de Taylor das seguintes funções no ponto que se indica.
f(x) = 1 / (2 x + 1) em a = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Séries de Taylor. O objetivo é encontrar a série de Taylor da função centrada no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir uma função em série em torno de um ponto específico usando a fórmula da série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão. Começamos substituindo por para destacar o ponto em torno do qual estamos expandindo:

Passo 3

Simplificando dentro do denominador:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o 7 para facilitar a expansão:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Observamos que essa forma se parece com a série geométrica padrão:
Aqui, queremos que o denominador seja , então vamos ajustar nossa expressão:

Passo 6

Agora, identificamos e podemos substituir na série geométrica:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
Substituindo de volta:

Resposta

A série de Taylor da função centrada em é:

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