Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
z = 1 / raiz(x^2 + y^2)
w = (x^3 - y^3) / (x^2 + y^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais de segunda e terceira ordem. A gente vai precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar essas regras nas funções dadas:

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a função . Para encontrar as derivadas parciais de segunda e terceira ordem, precisamos começar calculando as primeiras derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular . Usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, calculamos de forma semelhante:

Passo 5

Para encontrar as derivadas de segunda ordem, vamos derivar novamente as primeiras derivadas. Vamos começar com :

Passo 6

De forma similar, encontramos :

Passo 7

Agora, vamos calcular as derivadas mistas de segunda ordem, começando com :

Passo 8

Para as derivadas de terceira ordem, continuamos derivando as segundas derivadas. Por exemplo, calculando :

Passo 9

Fazemos o mesmo para as demais derivadas de terceira ordem, como e as mistas.

Passo 10

Agora, vamos para a função . Primeiro, calculamos as primeiras derivadas parciais em relação a e .

Passo 11

Calculando usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 12

De forma semelhante, calculamos :
Simplificando:

Passo 13

Para as derivadas parciais de segunda ordem de , derivamos novamente as primeiras derivadas. Por exemplo, para , aplicamos a regra novamente na expressão de .

Passo 14

Continuamos esse processo para todas as derivadas de segunda e terceira ordem de , garantindo que aplicamos corretamente as regras de derivação em cada etapa.

Resposta

As derivadas parciais de segunda e terceira ordem das funções e são obtidas seguindo os passos acima, aplicando as regras de derivaç��o parcial, simplificando as expressões e garantindo a correta aplicação da teoria de derivadas parciais.

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