Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais de segunda e terceira ordem. A gente vai precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar essas regras nas funções dadas:
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a função
. Para encontrar as derivadas parciais de segunda e terceira ordem, precisamos começar calculando as primeiras derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular
. Usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, calculamos
de forma semelhante:
Passo 5
Para encontrar as derivadas de segunda ordem, vamos derivar novamente as primeiras derivadas. Vamos começar com
:
Passo 6
De forma similar, encontramos
:
Passo 7
Agora, vamos calcular as derivadas mistas de segunda ordem, começando com
:
Passo 8
Para as derivadas de terceira ordem, continuamos derivando as segundas derivadas. Por exemplo, calculando
:
Passo 9
Fazemos o mesmo para as demais derivadas de terceira ordem, como
e as mistas.
Passo 10
Agora, vamos para a função
. Primeiro, calculamos as primeiras derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 11
Calculando
usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 12
De forma semelhante, calculamos
:
Simplificando:
Passo 13
Para as derivadas parciais de segunda ordem de
, derivamos novamente as primeiras derivadas. Por exemplo, para
, aplicamos a regra novamente na expressão de
.
Passo 14
Continuamos esse processo para todas as derivadas de segunda e terceira ordem de
, garantindo que aplicamos corretamente as regras de derivação em cada etapa.
Resposta
As derivadas parciais de segunda e terceira ordem das funções
e
são obtidas seguindo os passos acima, aplicando as regras de derivaç��o parcial, simplificando as expressões e garantindo a correta aplicação da teoria de derivadas parciais.