Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem a equação diferencial:
O objetivo é determinar se essa equação é separável e, se for, encontrar a solução geral dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Seperáveis, onde conseguimos separar as variáveis
e
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser separável. Uma equação da forma:
é separável porque conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Vamos ver se conseguimos fazer isso com a nossa equação.
Passo 3
Dada a equação:
Podemos reescrever
como
:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
e por
para separar as variáveis:
Agora, temos uma forma onde apenas
está de um lado e apenas
do outro. Isso confirma que a equação é separável.
Passo 4
Agora que conseguimos separar as variáveis, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
Integrando o lado esquerdo com respeito a
:
A integral do lado esquerdo é simples:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Vamos fazer uma substituição
, então
, o que implica que
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, juntando as integrações dos dois lados:
Onde
é uma constante arbitrária.
Passo 7
Por fim, vamos isolar
para obter a solução geral:
Multiplicando ambos os lados por 2:
E tirando a raiz quadrada:
Resposta
A equação �� separável e a solução geral é: