Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(e) y' = x^2 / (y(1 + x^3))

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem a equação diferencial:
O objetivo é determinar se essa equação é separável e, se for, encontrar a solução geral dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Seperáveis, onde conseguimos separar as variáveis e para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser separável. Uma equação da forma:
é separável porque conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem .
Vamos ver se conseguimos fazer isso com a nossa equação.

Passo 3

Dada a equação:
Podemos reescrever como :
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por e por para separar as variáveis:
Agora, temos uma forma onde apenas está de um lado e apenas do outro. Isso confirma que a equação é separável.

Passo 4

Agora que conseguimos separar as variáveis, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
Integrando o lado esquerdo com respeito a :
A integral do lado esquerdo é simples:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Vamos fazer uma substituição , então , o que implica que .
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, juntando as integrações dos dois lados:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 7

Por fim, vamos isolar para obter a solução geral:
Multiplicando ambos os lados por 2:
E tirando a raiz quadrada:

Resposta

A equação �� separável e a solução geral é:

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