Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
w = argsenh(x y z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é um tópico de cálculo multivariável. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções compostas e conhecer as regras de derivação para funções hiperbólicas inversas, como o .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . A função é a função arco seno hiperbólico, que é a inversa da função seno hiperbólico ( ). Para derivar essa função, precisamos lembrar que:
onde .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a . Aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Por exemplo, a segunda derivada parcial de em relação a :
Aplicando a regra do quociente e simplificando:

Passo 5

Para as derivadas parciais de terceira ordem, por exemplo, a terceira derivada parcial de em relação a :
Calculando essa derivada:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
E a derivada parcial de terceira ordem é:

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