Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é um tópico de cálculo multivariável. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções compostas e conhecer as regras de derivação para funções hiperbólicas inversas, como o
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. A função
é a função arco seno hiperbólico, que é a inversa da função seno hiperbólico (
). Para derivar essa função, precisamos lembrar que:
onde
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Por exemplo, a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente e simplificando:
Passo 5
Para as derivadas parciais de terceira ordem, por exemplo, a terceira derivada parcial de
em relação a
:
Calculando essa derivada:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
E a derivada parcial de terceira ordem é: