DEMONSTRE:
y = cosh^(-1)(x) = ln(x + raiz(x^2 - 1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função inversa do cosseno hiperbólico, que a gente escreve como , é igual a . Isso está relacionado ao estudo das funções hiperbólicas e suas inversas. Vamos precisar usar as definições das funções hiperbólicas e propriedades dos logaritmos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função cosseno hiperbólico ( ). Ela é definida por:
A função inversa nos dá o valor de tal que . Então, temos:

Passo 3

Vamos multiplicar os dois lados da equação por 2 para simplificar:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o termo :

Passo 4

Reorganizando a equação, temos uma equação quadrática em termos de :
Vamos chamar de para facilitar:

Passo 5

Agora, resolvemos essa equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara:
Como é sempre positivo, descartamos a solução negativa:

Passo 6

Lembrando que , temos:
Para encontrar , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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