DEMONSTRE:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função inversa do cosseno hiperbólico, que a gente escreve como
, é igual a
. Isso está relacionado ao estudo das funções hiperbólicas e suas inversas. Vamos precisar usar as definições das funções hiperbólicas e propriedades dos logaritmos para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função cosseno hiperbólico (
). Ela é definida por:
A função inversa
nos dá o valor de
tal que
. Então, temos:
Passo 3
Vamos multiplicar os dois lados da equação por 2 para simplificar:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o termo
:
Passo 4
Reorganizando a equação, temos uma equação quadrática em termos de
:
Vamos chamar
de
para facilitar:
Passo 5
Agora, resolvemos essa equação quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara:
Como
é sempre positivo, descartamos a solução negativa:
Passo 6
Lembrando que
, temos:
Para encontrar
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Resposta
Portanto, demonstramos que: