Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:

Passo 1

Beleza, galera! A gente vai resolver um exercício de cálculo multivariável onde precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função . Isso tá ligado ao estudo de como as funções mudam quando a gente varia uma ou mais de suas variáveis. Vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de derivação de funções exponenciais com múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a uma delas (digamos, ) é como se a gente derivasse a função considerando as outras variáveis (nesse caso, e ) como constantes.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de em relação a . Usando a regra da cadeia para funções exponenciais, temos:

Passo 4

Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Vamos começar com a derivada segunda em relação a novamente:

Passo 5

Vamos calcular também as derivadas mistas de segunda ordem. Por exemplo, a derivada parcial em relação a e depois a :

Passo 6

Seguindo o mesmo raciocínio, podemos calcular as outras derivadas parciais de segunda ordem:

Passo 7

Agora, vamos para as derivadas de terceira ordem. Vamos calcular, por exemplo, a derivada terceira em relação a :

Passo 8

Para as derivadas mistas de terceira ordem, aplicamos o mesmo processo. Por exemplo, a derivada em relação a , depois , e depois :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem de são:
E as derivadas parciais de terceira ordem incluem, por exemplo:
E assim por diante para as demais combinações de variáveis.

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