Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
Passo 1
Beleza, galera! A gente vai resolver um exercício de cálculo multivariável onde precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função
. Isso tá ligado ao estudo de como as funções mudam quando a gente varia uma ou mais de suas variáveis. Vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de derivação de funções exponenciais com múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a uma delas (digamos,
) é como se a gente derivasse a função considerando as outras variáveis (nesse caso,
e
) como constantes.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra da cadeia para funções exponenciais, temos:
Passo 4
Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Vamos começar com a derivada segunda em relação a
novamente:
Passo 5
Vamos calcular também as derivadas mistas de segunda ordem. Por exemplo, a derivada parcial em relação a
e depois a
:
Passo 6
Seguindo o mesmo raciocínio, podemos calcular as outras derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 7
Agora, vamos para as derivadas de terceira ordem. Vamos calcular, por exemplo, a derivada terceira em relação a
:
Passo 8
Para as derivadas mistas de terceira ordem, aplicamos o mesmo processo. Por exemplo, a derivada em relação a
, depois
, e depois
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem de
são:
E as derivadas parciais de terceira ordem incluem, por exemplo:
E assim por diante para as demais combinações de variáveis.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule:
(a)
(a)
Uma fábrica produz
unidades do produto A e
unidades do produto B . Todas as unidades serão vendidas se o preço do produto A for
reais e o do produto B for
. A função custo conjunto dos produtos é
reais.
Quais deve ser os valores de e
para que o lucro seja máximo? Lembre-se que a Receita é a quantidade de produtos vendidos multiplicada pelo preço. E o Lucro
Receita - Custo.
Quais deve ser os valores de
Calcule (usando substituição)
Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de: