Calcule (usando substituição)
integralpi6^pi2 sen x(1-cos ^2 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método de substituição. Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e integrais definidas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que integralpi6^pi2 sin x (1 - cos^2 x) dx = integralpi6^pi2 sin x cdot sin^2 x , dx = integralpi6^pi2 sin^3 x , dx é igual a pela identidade trigonométrica fundamental. Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

Passo 3

No entanto, para aplicar o método de substituição conforme solicitado, vamos manter a forma original da integral e escolher uma substituição adequada. Observando a integral original u = cos x , podemos notar que a presença de du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx sugere uma boa escolha para substituição.
Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, substituímos integral sin x (1 - cos^2 x) dx = integral (1 - u^2) (-du) = -integral (1 - u^2) du e - integral 1 , du + integral u^2 , du = -u + u^33 + C na integral:
Distribuindo o sinal negativo:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, voltamos à variável original substituindo - cos x + cos^3 x3 + C :
[ - cos x + cos^3 x3 ]pi6^pi2
Como estamos calculando uma integral definida de a , podemos aplicar os limites de integração:

Passo 6

Calculamos os valores nos limites superior e inferior:
Para - cos ( pi2 ) + cos^3 ( pi2 )3 = -0 + 03 = 0 :
- cos ( pi6 ) + cos^3 ( pi6 )3 = -( raiz32 ) + ( raiz32 )^33
Para - raiz32 + 3raiz383 = - raiz32 + raiz38 = -4raiz38 + raiz38 = -3raiz38 :
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a .

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