Calcule (usando substituição)
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando o método de substituição. Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e integrais definidas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que
é igual a
pela identidade trigonométrica fundamental. Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
Passo 3
No entanto, para aplicar o método de substituição conforme solicitado, vamos manter a forma original da integral e escolher uma substituição adequada. Observando a integral original
, podemos notar que a presença de
sugere uma boa escolha para substituição.
Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral:
Distribuindo o sinal negativo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Como estamos calculando uma integral definida de
a
, podemos aplicar os limites de integração:
Passo 6
Calculamos os valores nos limites superior e inferior:
Para
:
Para
:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a
.
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. Calcule:
(a)
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