Calcule (usando substituição)

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método de substituição. Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e integrais definidas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que é igual a pela identidade trigonométrica fundamental. Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

Passo 3

No entanto, para aplicar o método de substituição conforme solicitado, vamos manter a forma original da integral e escolher uma substituição adequada. Observando a integral original , podemos notar que a presença de sugere uma boa escolha para substituição.
Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, substituímos e na integral:
Distribuindo o sinal negativo:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, voltamos à variável original substituindo :
Como estamos calculando uma integral definida de a , podemos aplicar os limites de integração:

Passo 6

Calculamos os valores nos limites superior e inferior:
Para :
Para :
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a .

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(a)
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