Uma fábrica produz unidades do produto A e unidades do produto B . Todas as unidades serão vendidas se o preço do produto A for reais e o do produto B for . A função custo conjunto dos produtos é reais.
Quais deve ser os valores de e para que o lucro seja máximo? Lembre-se que a Receita é a quantidade de produtos vendidos multiplicada pelo preço. E o Lucro Receita - Custo.

Passo 1

Vamos resolver um problema de maximização de lucro em uma fábrica que produz dois produtos, A e B. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a Otimização. Precisaremos calcular as receitas, custos e utilizar derivadas parciais para encontrar os valores de e que maximizam o lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as receitas de cada produto. A receita é calculada multiplicando a quantidade vendida pelo preço de venda. Para o produto A, a receita é:
Analogamente, para o produto B, a receita é:
A receita total é a soma das receitas de A e B:

Passo 3

Agora, vamos expressar o lucro como a diferença entre a receita total e o custo conjunto:
Dado que a função de custo conjunto é , substituímos na equação do lucro:

Passo 4

Para encontrar os valores de e que maximizam o lucro, precisamos encontrar os pontos críticos da função . Isso envolve calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
Primeiro, derivamos em relação a :
Em seguida, derivamos em relação a :

Passo 5

Agora, igualamos ambas as derivadas parciais a zero para encontrar os valores críticos:
Temos um sistema de equações lineares que podemos resolver para e .

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da equação (1):
Substituímos a equação (3) na equação (2):
Agora, substituímos na equação (3):

Resposta

Para maximizar o lucro, os valores de e devem ser unidades e unidades.

Exercícios relacionados

Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Calcule os limites abaixo, caso existam.
(5)
Seja . Calcule:
(a)
Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de: