Uma fábrica produz
unidades do produto A e
unidades do produto B . Todas as unidades serão vendidas se o preço do produto A for
reais e o do produto B for
. A função custo conjunto dos produtos é
reais.
Quais deve ser os valores de
e
para que o lucro seja máximo? Lembre-se que a Receita é a quantidade de produtos vendidos multiplicada pelo preço. E o Lucro
Receita - Custo.
Quais deve ser os valores de
Passo 1
Vamos resolver um problema de maximização de lucro em uma fábrica que produz dois produtos, A e B. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a Otimização. Precisaremos calcular as receitas, custos e utilizar derivadas parciais para encontrar os valores de
e
que maximizam o lucro.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar as receitas de cada produto. A receita é calculada multiplicando a quantidade vendida pelo preço de venda. Para o produto A, a receita
é:
Analogamente, para o produto B, a receita
é:
A receita total
é a soma das receitas de A e B:
Passo 3
Agora, vamos expressar o lucro
como a diferença entre a receita total e o custo conjunto:
Dado que a função de custo conjunto é
, substituímos na equação do lucro:
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
que maximizam o lucro, precisamos encontrar os pontos críticos da função
. Isso envolve calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Agora, igualamos ambas as derivadas parciais a zero para encontrar os valores críticos:
Temos um sistema de equações lineares que podemos resolver para
e
.
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da equação (1):
Substituímos a equação (3) na equação (2):
Agora, substituímos
na equação (3):
Resposta
Para maximizar o lucro, os valores de
e
devem ser
unidades e
unidades.
Exercícios relacionados
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Calcule os limites abaixo, caso existam.
(5)
(5)
Seja
. Calcule:
(a)
(a)
Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de: