Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
l * w = e^(x * y^2 * z^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função . Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, a gente vai precisar lembrar como derivar funções exponenciais e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . A função é . A derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a . Aqui, , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a novamente (segunda derivada em relação a ). Vamos derivar em relação a :
Isso porque ao derivar novamente, aplicamos a regra da cadeia mais uma vez.

Passo 4

Agora, vamos achar a segunda derivada parcial de em relação a . Primeiro, a primeira derivada em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a . Primeiro, a primeira derivada em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos para a terceira derivada parcial. Por exemplo, a terceira derivada em relação a :
Ou seja:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
E a derivada parcial de terceira ordem em relação a é:

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