Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, a gente vai precisar lembrar como derivar funções exponenciais e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. A função é
. A derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
. Aqui,
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
novamente (segunda derivada em relação a
). Vamos derivar
em relação a
:
Isso porque ao derivar novamente, aplicamos a regra da cadeia mais uma vez.
Passo 4
Agora, vamos achar a segunda derivada parcial de
em relação a
. Primeiro, a primeira derivada em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Primeiro, a primeira derivada em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos para a terceira derivada parcial. Por exemplo, a terceira derivada em relação a
:
Ou seja:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
E a derivada parcial de terceira ordem em relação a
é: