Seja . Mostre que , mas não existe um número em tal que . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função . Precisamos mostrar duas coisas:
  1. Que .
  2. Que não existe um número no intervalo tal que .
Além disso, temos que explicar por que isso não contraria o Teorema de Rolle. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular valores de funções e conhecer o Teorema de Rolle, que fala sobre a existência de uma derivada igual a zero sob certas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular e .
Para :
Sabemos que e, portanto:
Então:
Para :
Como :
Portanto, .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se existe algum no intervalo tal que .
Vamos resolver a equação :
Para resolver isso, elevamos ambos os lados à potência de :
Então, a única solução é , que está nos extremos do intervalo e não dentro dele . Portanto, não existe nenhum dentro de que satisfaça .

Passo 4

Agora, vamos entender por que isso não contraria o Teorema de Rolle. O Teorema de Rolle afirma que se uma função é contínua no intervalo fechado , diferenciável no intervalo aberto , e , então existe pelo menos um em tal que .
No nosso caso:
  • , ok.
  • A função é contínua em .
  • No entanto, precisamos verificar a diferenciabilidade.
Vamos derivar :
Perceba que não está definido em porque teríamos uma divisão por zero. Assim, a função não é diferenciável em todo o intervalo , falhando em um dos requisitos do Teorema de Rolle. Por isso, não há contradição.

Resposta

Mostramos que e que não existe em tal que . Isso não contraria o Teorema de Rolle porque a função não é diferenciável em todo o intervalo , faltando assim cumprir as condições necessárias do teorema.

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(g)
Calcule