Seja
. Mostre que
, mas não existe um número
em
tal que
. Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função
. Precisamos mostrar duas coisas:
- Que
. - Que não existe um número
no intervalo tal que .
Além disso, temos que explicar por que isso não contraria o Teorema de Rolle. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular valores de funções e conhecer o Teorema de Rolle, que fala sobre a existência de uma derivada igual a zero sob certas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
e
.
Para
:
Sabemos que
e, portanto:
Então:
Para
:
Como
:
Portanto,
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se existe algum
no intervalo
tal que
.
Vamos resolver a equação
:
Para resolver isso, elevamos ambos os lados à potência de
:
Então, a única solução é
, que está nos extremos do intervalo e não dentro dele
. Portanto, não existe nenhum
dentro de
que satisfaça
.
Passo 4
Agora, vamos entender por que isso não contraria o Teorema de Rolle. O Teorema de Rolle afirma que se uma função
é contínua no intervalo fechado
, diferenciável no intervalo aberto
, e
, então existe pelo menos um
em
tal que
.
No nosso caso:
-
, ok. - A função
é contínua em . - No entanto, precisamos verificar a diferenciabilidade.
Vamos derivar
:
Perceba que
não está definido em
porque teríamos uma divisão por zero. Assim, a função não é diferenciável em todo o intervalo
, falhando em um dos requisitos do Teorema de Rolle. Por isso, não há contradição.
Resposta
Mostramos que
e que não existe
em
tal que
. Isso não contraria o Teorema de Rolle porque a função
não é diferenciável em todo o intervalo
, faltando assim cumprir as condições necessárias do teorema.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule:
Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(g)
(g)
Calcule