Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a equação diferencial
é separável. Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais, especificamente às equações separáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação separável e ver se conseguimos separar as variáveis x e y nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação separável. É uma equação diferencial que pode ser escrita na forma
, onde conseguimos separar as variáveis x e y em lados opostos da equação. Isso facilita a integração e a resolução da equação.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação dada:
. Podemos rearrumar para isolar
:
Aqui, vemos que
está igual a
. Para ser separável, devemos conseguir escrever o lado direito como um produto de uma função só de x e outra só de y.
Passo 4
Observando
, percebemos que a função cos está dependendo do produto x y, ou seja, não conseguimos separá-la facilmente em uma função apenas de x multiplicada por uma função apenas de y. Isso complica a separação das variáveis.
Passo 5
Tentamos fazer uma substituição para simplificar, por exemplo, deixando
. Entretanto, ao derivar e substituir na equação original, acabamos com uma expressão que não facilita a separação das variáveis:
Essa equação ainda não está separável, tornando a resolução direta inviável.
Resposta
A equação
não é uma equação separável.