Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(l) cos(xy) + y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a equação diferencial é separável. Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais, especificamente às equações separáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação separável e ver se conseguimos separar as variáveis x e y nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação separável. É uma equação diferencial que pode ser escrita na forma , onde conseguimos separar as variáveis x e y em lados opostos da equação. Isso facilita a integração e a resolução da equação.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação dada: . Podemos rearrumar para isolar :
Aqui, vemos que está igual a . Para ser separável, devemos conseguir escrever o lado direito como um produto de uma função só de x e outra só de y.

Passo 4

Observando , percebemos que a função cos está dependendo do produto x y, ou seja, não conseguimos separá-la facilmente em uma função apenas de x multiplicada por uma função apenas de y. Isso complica a separação das variáveis.

Passo 5

Tentamos fazer uma substituição para simplificar, por exemplo, deixando . Entretanto, ao derivar e substituir na equação original, acabamos com uma expressão que não facilita a separação das variáveis:
Essa equação ainda não está separável, tornando a resolução direta inviável.

Resposta

A equação não é uma equação separável.

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