Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
w = cos(x * y + z * x)

Passo 1

Vamos começar entendendo a questão. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função . Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, especificamente as derivadas parciais sucessivas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a cada variável , e . Essas derivadas são a base para calcular as derivadas de ordem superior.

Passo 3

Vamos derivar em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde derivamos a função externa como , e derivamos o argumento em relação a .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a :
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia e derivamos o argumento em relação a , que resulta em .

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a :
A derivada em relação a também utiliza a regra da cadeia, com a derivada do argumento em relação a sendo .

Passo 6

Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, as derivadas das derivadas de primeira ordem.
Vamos começar com :
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 7

Vamos agora calcular :
Primeiro, pegamos e derivamos em relação a :

Passo 8

Calculamos :
Derivamos em relação a :

Passo 9

Vamos agora para as derivadas de terceira ordem. Por exemplo, vamos calcular :
Primeiro, lembramos que . Derivando isso em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
As derivadas parciais de terceira ordem, como exemplo, são:

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