Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
Passo 1
Vamos começar entendendo a questão. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função
. Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, especificamente as derivadas parciais sucessivas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a cada variável
,
e
. Essas derivadas são a base para calcular as derivadas de ordem superior.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde derivamos a função externa
como
, e derivamos o argumento
em relação a
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
:
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia e derivamos o argumento
em relação a
, que resulta em
.
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
:
A derivada em relação a
também utiliza a regra da cadeia, com a derivada do argumento
em relação a
sendo
.
Passo 6
Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, as derivadas das derivadas de primeira ordem.
Vamos começar com
:
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 7
Vamos agora calcular
:
Primeiro, pegamos
e derivamos em relação a
:
Passo 8
Calculamos
:
Derivamos
em relação a
:
Passo 9
Vamos agora para as derivadas de terceira ordem. Por exemplo, vamos calcular
:
Primeiro, lembramos que
. Derivando isso em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
As derivadas parciais de terceira ordem, como exemplo, são: