Seja G um grupo e considere as seguinte afirmações:
(II) Se S é subconjunto de G, então C_G(S) = C_G(C_G(C_G(S))). Aqui CG(X) representa o centralizador de X em G.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar uma afirmação sobre grupos, que é um conceito da Álgebra Abstracta. Especificamente, estamos trabalhando com o centralizador de um subconjunto em um grupo, denotado por . A afirmação é que, se você tomar o centralizador de três vezes seguidas, o resultado é igual ao centralizador da primeira vez. Ou seja:
Vamos precisar entender o que é centralizador e como ele funciona para provar essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o centralizador. Dado um grupo e um subconjunto de , o centralizador de em , denotado por , é o conjunto de todos os elementos de que comutam com cada elemento de . Em outras palavras:
Isso significa que é o conjunto de elementos em que “não bagunçam” os elementos de quando os multiplicam.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa aplicar o centralizador três vezes seguidas:
Vamos analisar isso passo a passo:
  1. Primeiro, calculamos , que é o conjunto de elementos que comutam com todos os elementos de .
  2. Em seguida, calculamos , que é o conjunto de elementos que comutam com todos os elementos de .
  3. Finalmente, calculamos , que é o conjunto de elementos que comutam com todos os elementos de .
Queremos mostrar que esse último conjunto é igual a .

Passo 4

Vamos mostrar que e que . Se conseguirmos provar essas duas inclusões, então os conjuntos são iguais.
Primeira inclusão:
Seja . Isso significa que comuta com todo .
Queremos mostrar que também comuta com todo elemento de .
Como , ele está no centralizador de , então ele está dissipando ou “respeitando” os elementos de . Isso implica que ele também estará no centralizador do centralizador, mantendo a igualdade.
Segunda inclusão:
Agora, seja . Isso significa que comuta com todos os elementos de .
Mas sabemos que é um subconjunto que já centraliza , então, por extensão, precisa centralizar também para manter essa cadeia de centralizadores.

Passo 5

Como mostramos que cada conjunto está contido no outro:
Então, por definição, os dois conjuntos são iguais:

Resposta

A afirmação está correta: .

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