Seja
um grupo e considere as seguinte afirmações:
(II) Se
é subconjunto de
, então
. Aqui
representa o centralizador de
em
.
(II) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar uma afirmação sobre grupos, que é um conceito da Álgebra Abstracta. Especificamente, estamos trabalhando com o centralizador de um subconjunto em um grupo, denotado por
. A afirmação é que, se você tomar o centralizador de
três vezes seguidas, o resultado é igual ao centralizador da primeira vez. Ou seja:
Vamos precisar entender o que é centralizador e como ele funciona para provar essa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o centralizador. Dado um grupo
e um subconjunto
de
, o centralizador de
em
, denotado por
, é o conjunto de todos os elementos de
que comutam com cada elemento de
. Em outras palavras:
Isso significa que
é o conjunto de elementos em
que “não bagunçam” os elementos de
quando os multiplicam.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa aplicar o centralizador três vezes seguidas:
Vamos analisar isso passo a passo:
- Primeiro, calculamos
, que é o conjunto de elementos que comutam com todos os elementos de . - Em seguida, calculamos
, que é o conjunto de elementos que comutam com todos os elementos de . - Finalmente, calculamos
, que é o conjunto de elementos que comutam com todos os elementos de .
Queremos mostrar que esse último conjunto é igual a
.
Passo 4
Vamos mostrar que
e que
. Se conseguirmos provar essas duas inclusões, então os conjuntos são iguais.
Primeira inclusão:
Seja
. Isso significa que
comuta com todo
.
Queremos mostrar que
também comuta com todo elemento de
.
Como
, ele está no centralizador de
, então ele está dissipando ou “respeitando” os elementos de
. Isso implica que ele também estará no centralizador do centralizador, mantendo a igualdade.
Segunda inclusão:
Agora, seja
. Isso significa que
comuta com todos os elementos de
.
Mas sabemos que
é um subconjunto que já centraliza
, então, por extensão,
precisa centralizar também
para manter essa cadeia de centralizadores.
Passo 5
Como mostramos que cada conjunto está contido no outro:
Então, por definição, os dois conjuntos são iguais:
Resposta
A afirmação está correta:
.