Assinale a alternativa incorreta.
(d) Se
é o corpo finito de 13 elementos, então existe
de grau 3 para o qual
.
(d) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre corpos finitos, especificamente o corpo finito
, que tem 13 elementos. O enunciado quer saber se existe um polinômio de grau 3 nesse corpo que, quando aplicado a todos os elementos de
, resulta em menos de 5 valores distintos. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os polinômios em corpos finitos e a ideia de imagens desses polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é um conjunto com os números de 0 a 12, e a aritmética é feita módulo 13. Um polinômio de grau 3 tem a forma
, onde
estão em
.
Passo 3
Agora, queremos que
. Isso significa que, ao aplicar
em todos os 13 elementos de
, teremos menos de 5 resultados diferentes. Em outras palavras, o polinômio deve “colapsar” muitos valores diferentes em poucos resultados.
Passo 4
Vamos considerar o teorema que diz que, em um corpo finito
, um polinômio de grau
pode assumir no máximo
raízes, a menos que seja o polinômio nulo. Porém, isso está mais relacionado às raízes do polinômio. O que precisamos aqui é entender a quantidade de valores distintos que
pode assumir.
Passo 5
Em corpos finitos, a função dado por um polinômio pode ser vista como uma aplicação de
para
. O número de valores diferentes que essa aplicação pode ter está relacionado à “distinção” do polinômio. Quanto mais termos e maior o grau, mais provável é que o polinômio dê resultados diferentes para entradas diferentes.
Passo 6
Para um polinômio de grau 3 em
, na maioria dos casos, esperamos que ele assuma vários valores diferentes quando aplicado a todos os elementos de
. Ter menos de 5 valores distintos seria algo incomum e indicaria uma estrutura específica no polinômio que força muitas entradas a caírem nos mesmos resultados.
Passo 7
No entanto, devido à estrutura de corpos finitos, pode ser possível construir tais polinômios que repitam valores de maneira controlada. Mas, no caso específico de
e polinômios de grau 3, isso não acontece naturalmente. A alta variabilidade dos polinômios de grau 3 geralmente resulta em muitos valores distintos.
Passo 8
Portanto, a afirmação de que “existe um polinômio de grau 3 em
que assume menos de 5 valores distintos” é incorreta.
Resposta
A alternativa (d) é incorreta.