Assinale a alternativa incorreta.
(d) Se K = F_13 é o corpo finito de 13 elementos, então existe p(x) in K[x] de grau 3 para o qual # {p(alpha): alpha em F_13} < 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre corpos finitos, especificamente o corpo finito , que tem 13 elementos. O enunciado quer saber se existe um polinômio de grau 3 nesse corpo que, quando aplicado a todos os elementos de , resulta em menos de 5 valores distintos. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os polinômios em corpos finitos e a ideia de imagens desses polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é um conjunto com os números de 0 a 12, e a aritmética é feita módulo 13. Um polinômio de grau 3 tem a forma , onde estão em .

Passo 3

Agora, queremos que . Isso significa que, ao aplicar em todos os 13 elementos de , teremos menos de 5 resultados diferentes. Em outras palavras, o polinômio deve “colapsar” muitos valores diferentes em poucos resultados.

Passo 4

Vamos considerar o teorema que diz que, em um corpo finito , um polinômio de grau pode assumir no máximo raízes, a menos que seja o polinômio nulo. Porém, isso está mais relacionado às raízes do polinômio. O que precisamos aqui é entender a quantidade de valores distintos que pode assumir.

Passo 5

Em corpos finitos, a função dado por um polinômio pode ser vista como uma aplicação de para . O número de valores diferentes que essa aplicação pode ter está relacionado à “distinção” do polinômio. Quanto mais termos e maior o grau, mais provável é que o polinômio dê resultados diferentes para entradas diferentes.

Passo 6

Para um polinômio de grau 3 em , na maioria dos casos, esperamos que ele assuma vários valores diferentes quando aplicado a todos os elementos de . Ter menos de 5 valores distintos seria algo incomum e indicaria uma estrutura específica no polinômio que força muitas entradas a caírem nos mesmos resultados.

Passo 7

No entanto, devido à estrutura de corpos finitos, pode ser possível construir tais polinômios que repitam valores de maneira controlada. Mas, no caso específico de e polinômios de grau 3, isso não acontece naturalmente. A alta variabilidade dos polinômios de grau 3 geralmente resulta em muitos valores distintos.

Passo 8

Portanto, a afirmação de que “existe um polinômio de grau 3 em que assume menos de 5 valores distintos” é incorreta.

Resposta

A alternativa (d) é incorreta.

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