Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
z = x cos(x y) - y sen(x y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função:
Isso está relacionado ao estudo de cálculo diferencial, especificamente às derivadas parciais, que mostram como a função muda em relação a uma variável enquanto a outra permanece constante. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, que são as fundações para chegar nas de segunda e terceira ordem.
Derivada parcial de z em relação a x (zₓ):
A função é .
Vamos derivar termo a termo:
  1. Derivada de em relação a :
    • Use a regra do produto: derivada de x é 1 vezes x mais vezes a derivada de x.
    • Derivada de em relação a é (regra da cadeia).
    Então, temos:
  2. Derivada de em relação a x:
    • é constante em relação a , então fica vezes a derivada de .
    • Derivada de em relação a x é -y (regra da cadeia).
    Então, temos:
    x
Agora, somando tudo:

Passo 3

Derivada parcial de z em relação a y (zᵧ):
Agora, vamos derivar a função em relação a y.
  1. Derivada de em relação a y:
    • x é constante em relação a y, então é x vezes a derivada de .
    • Derivada de em relação a y é (regra da cadeia).
    Então, temos:
  2. Derivada de em relação a :
    • Use a regra do produto: derivada de é vezes mais y vezes a derivada de .
    • Derivada de em relação a -y é -1 (regra da cadeia).
    Então, temos:
Agora, somando tudo:

Passo 4

Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Derivada de segunda ordem em relação a x (zₓₓ):
Vamos derivar em relação a x:
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a x:
    • Use a regra do produto:
      • Derivada de é .
      • Derivada de é x.
    Então:
  3. Derivada de em relação a -y:
Agora, somando todas as partes:
Simplificando:

Passo 5

Derivada de segunda ordem em relação a y (zᵧᵧ):
Vamos derivar em relação a y:
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a y:
  3. Derivada de em relação a y:
    • Use a regra do produto:
      • Derivada de é .
      • Derivada de y é .
    Então:
Agora, somando todas as partes:
Simplificando:

Passo 6

Derivadas de terceira ordem:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de terceira ordem usando as derivadas de segunda ordem que já encontramos.
Derivada de terceira ordem em relação a x, x, x (zₓₓₓ):
Vamos derivar em relação a x:
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de x em relação a :
    • Use a regra do produto:
      • Derivada de é x.
      • Derivada de é .
    Então:
  3. Derivada de em relação a :
Agora, somando todas as partes:
Simplificando:

Passo 7

Derivada de terceira ordem em relação a y, y, y (zᵧᵧᵧ):
Vamos derivar em relação a y:
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de y em relação a :
  3. Derivada de em relação a :
    • Use a regra do produto:
      • Derivada de y é .
      • Derivada de é .
    Então:
Agora, somando todas as partes:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função são:
Segunda ordem:
Terceira ordem:

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