Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função:
Isso está relacionado ao estudo de cálculo diferencial, especificamente às derivadas parciais, que mostram como a função muda em relação a uma variável enquanto a outra permanece constante. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, que são as fundações para chegar nas de segunda e terceira ordem.
Derivada parcial de
em relação a
(zₓ):
A função é .
Vamos derivar termo a termo:
-
Derivada de
em relação a : - Use a regra do produto: derivada de
é 1 vezes mais vezes a derivada de . - Derivada de
em relação a é (regra da cadeia).
Então, temos: - Use a regra do produto: derivada de
-
Derivada de em relação a
: -
é constante em relação a , então fica vezes a derivada de . - Derivada de em relação a
é (regra da cadeia).
Então, temos: -
Agora, somando tudo:
Passo 3
Derivada parcial de
em relação a
(zᵧ):
Agora, vamos derivar a função em relação a
.
-
Derivada de
em relação a : -
é constante em relação a , então é vezes a derivada de . - Derivada de
em relação a é (regra da cadeia).
Então, temos: -
-
Derivada de em relação a
: - Use a regra do produto: derivada de
é vezes mais vezes a derivada de . - Derivada de em relação a
é (regra da cadeia).
Então, temos: - Use a regra do produto: derivada de
Agora, somando tudo:
Passo 4
Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Derivada de segunda ordem em relação a
(zₓₓ):
Vamos derivar
em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de em relação a
: - Use a regra do produto:
- Derivada de
é . - Derivada de é
.
- Derivada de
Então: - Use a regra do produto:
-
Derivada de
em relação a :
Agora, somando todas as partes:
Simplificando:
Passo 5
Derivada de segunda ordem em relação a
(zᵧᵧ):
Vamos derivar
em relação a
:
-
Derivada de em relação a
: -
Derivada de em relação a
: -
Derivada de
em relação a : - Use a regra do produto:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
- Derivada de
Então: - Use a regra do produto:
Agora, somando todas as partes:
Simplificando:
Passo 6
Derivadas de terceira ordem:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de terceira ordem usando as derivadas de segunda ordem que já encontramos.
Derivada de terceira ordem em relação a
,
,
(zₓₓₓ):
Vamos derivar
em relação a
:
Derivando termo a termo:
-
Derivada de em relação a
: -
Derivada de
em relação a : - Use a regra do produto:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
- Derivada de
Então: - Use a regra do produto:
-
Derivada de em relação a
:
Agora, somando todas as partes:
Simplificando:
Passo 7
Derivada de terceira ordem em relação a
,
,
(zᵧᵧᵧ):
Vamos derivar
em relação a
:
Derivando termo a termo:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a : -
Derivada de em relação a
: - Use a regra do produto:
- Derivada de
é . - Derivada de é
.
- Derivada de
Então: - Use a regra do produto:
Agora, somando todas as partes:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função são:
Segunda ordem:
Terceira ordem: