Seja partial w / partial x+partial w / partial y+partial w / partial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
z=x yx+y

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos dá uma equação das derivadas parciais:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 0
E nos pede para verificar se a função
z = x cdot yx + y
satisfaz essa equação. Então, vamos usar conceitos de derivadas parciais para ver se essa função cumpre a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma função de , e . No nosso caso, temos expresso em termos de e . Para verificar se a função satisfaz a equação, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e , e depois somá-las para ver se dá zero.

Passo 3

Vamos reescrever a função w = x cdot yx + y de forma explícita. Como , podemos pensar em . Então, temos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular partial wpartial x = (y)(x + y) - x cdot y(x + y)^2 = y(x + y) - x y(x + y)^2 = y^2(x + y)^2 . Para isso, tratamos e como constantes e derivamos em relação a :

Passo 5

Agora, calculamos partial wpartial y = (x)(x + y) - x cdot y(x + y)^2 = x(x + y) - x y(x + y)^2 = x^2(x + y)^2 . Da mesma forma, tratamos e como constantes e derivamos em relação a :

Passo 6

Por último, vamos calcular partial wpartial z = 1 . Como , a derivada de em relação a é simplesmente:

Passo 7

Agora, somamos todas as derivadas parciais que calculamos:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = y^2(x + y)^2 + x^2(x + y)^2 + 1
Vamos simplificar isso:
y^2 + x^2(x + y)^2 + 1 = x^2 + y^2(x + y)^2 + (x + y)^2(x + y)^2 = x^2 + y^2 + x^2 + 2xy + y^2(x + y)^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2xy(x + y)^2
Isso não é igual a zero.

Resposta

Não, a função não satisfaz a equação dada.

Exercícios relacionados