Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos dá uma equação das derivadas parciais:
E nos pede para verificar se a função
satisfaz essa equação. Então, vamos usar conceitos de derivadas parciais para ver se essa função cumpre a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é uma função de
,
e
. No nosso caso, temos
expresso em termos de
e
. Para verificar se a função satisfaz a equação, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e depois somá-las para ver se dá zero.
Passo 3
Vamos reescrever a função
de forma explícita. Como
, podemos pensar em
. Então, temos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
. Para isso, tratamos
e
como constantes e derivamos em relação a
:
Passo 5
Agora, calculamos
. Da mesma forma, tratamos
e
como constantes e derivamos em relação a
:
Passo 6
Por último, vamos calcular
. Como
, a derivada de
em relação a
é simplesmente:
Passo 7
Agora, somamos todas as derivadas parciais que calculamos:
Vamos simplificar isso:
Isso não é igual a zero.
Resposta
Não, a função
não satisfaz a equação dada.