Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
Passo 1
Resumo do exercício: Temos a equação diferencial parcial
e precisamos verificar se a função
satisfaz essa equação. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, somá-las e verificar se o resultado é igual a zero.
Passo 2
Calculando
:
Sabemos que
. Para derivar em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Passo 3
Calculando
:
De forma similar, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Calculando
:
Agora, derivamos
em relação a
. Lembrando que ao derivar
, obtemos
:
Passo 5
Somando as derivadas parciais:
Vamos somar as três derivadas que calculamos:
Passo 6
Fatorando
:
Podemos fatorar
em comum:
Passo 7
Analisando a soma das derivadas:
Para que a equação original seja satisfeita, a soma das derivadas deve ser igual a zero:
Como
nunca é zero, o termo dentro dos parênteses deve ser igual a zero:
Passo 8
Verificando se a condição é sempre verdadeira:
A equação
não é verdadeira para todos os valores de
,
e
. Portanto, a função
não satisfaz a equação dada.
Resposta
A função
não satisfaz a equação
.