Seja partial w / partial x+partial w / partial y+partial w / partial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
w=e^x y z^2

Passo 1

Resumo do exercício: Temos a equação diferencial parcial e precisamos verificar se a função satisfaz essa equação. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e , somá-las e verificar se o resultado é igual a zero.

Passo 2

Calculando partial wpartial x = y z^2 e^x y z^2 :
Sabemos que . Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia:

Passo 3

Calculando partial wpartial y = x z^2 e^x y z^2 :
De forma similar, derivamos em relação a :

Passo 4

Calculando partial wpartial z = 2 x y z e^x y z^2 :
Agora, derivamos em relação a . Lembrando que ao derivar , obtemos :

Passo 5

Somando as derivadas parciais:
Vamos somar as três derivadas que calculamos:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = y z^2 e^x y z^2 + x z^2 e^x y z^2 + 2 x y z e^x y z^2

Passo 6

Fatorando e^x y z^2 ( y z^2 + x z^2 + 2 x y z ) :
Podemos fatorar em comum:

Passo 7

Analisando a soma das derivadas:
Para que a equação original seja satisfeita, a soma das derivadas deve ser igual a zero:
e^x y z^2 ( y z^2 + x z^2 + 2 x y z ) = 0
Como y z^2 + x z^2 + 2 x y z = 0 nunca é zero, o termo dentro dos parênteses deve ser igual a zero:

Passo 8

Verificando se a condição é sempre verdadeira:
A equação não é verdadeira para todos os valores de , e . Portanto, a função não satisfaz a equação dada.

Resposta

A função não satisfaz a equação .

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