Seja partial w / partial x+partial w / partial y+partial w / partial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
z=arctg(x^2+y)
w=cos (x^2+y^2+z^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação envolvendo derivadas parciais e duas funções para verificar se satisfazem essa equação. O conteúdo aqui é de Cálculo Diferencial, mais especificamente de Equações Diferenciais Parciais. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a , e , e depois somar elas para ver se dá zero conforme a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Precisamos entender como varia com e , já que depende de também.

Passo 3

Agora, vamos para a função . Para encontrar as derivadas parciais de , vamos usar a regra da cadeia. Lembre-se que a derivada da função cosseno é o menos seno, e aplicamos a derivada interna do argumento.

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial x = -sin(x^2 + y^2 + z^2) cdot (2x + 0 + 2z cdot partial zpartial x) em relação a :
Aqui, derivamos dentro do cosseno em relação a .

Passo 5

Agora, a derivada parcial de partial wpartial y = -sin(x^2 + y^2 + z^2) cdot (0 + 2y + 2z cdot partial zpartial y) em relação a :
Fazemos o mesmo processo, mas agora em relação a .

Passo 6

E a derivada parcial de partial wpartial z = -sin(x^2 + y^2 + z^2) cdot (0 + 0 + 2z) em relação a :
Aqui, só derivamos em relação a , já que depende de e .

Passo 7

Agora, precisamos encontrar partial zpartial x = 2x1 + (x^2 + y)^2 e partial zpartial y = 11 + (x^2 + y)^2 . Começando com :
Usamos a derivada da arctan que é , onde .

Passo 8

Substituindo partial wpartial x = -sin(x^2 + y^2 + z^2) cdot (2x + 2z cdot 2x1 + (x^2 + y)^2) e partial wpartial y = -sin(x^2 + y^2 + z^2) cdot (2y + 2z cdot 11 + (x^2 + y)^2) nas expressões das derivadas de partial wpartial z = -2z cdot sin(x^2 + y^2 + z^2) :

Passo 9

Agora, vamos somar as três derivadas parciais:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = -sin(x^2 + y^2 + z^2) (2x + 4xz1 + (x^2 + y)^2 + 2y + 2z1 + (x^2 + y)^2 + 2z)
Fizemos a soma direta das derivadas calculadas.

Passo 10

Para a expressão ser igual a zero, o que está dentro do parêntese precisa ser zero (já que o seno não é necessariamente zero). Ou seja:
2x + 4xz1 + (x^2 + y)^2 + 2y + 2z1 + (x^2 + y)^2 + 2z = 0
No entanto, essa igualdade não se mantém para valores gerais de , e . Portanto, a soma das derivadas parciais não é zero de forma geral.

Resposta

As funções dadas não satisfazem a equação .

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