Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação envolvendo derivadas parciais e duas funções para verificar se satisfazem essa equação. O conteúdo aqui é de Cálculo Diferencial, mais especificamente de Equações Diferenciais Parciais. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e depois somar elas para ver se dá zero conforme a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Precisamos entender como
varia com
e
, já que
depende de
também.
Passo 3
Agora, vamos para a função
. Para encontrar as derivadas parciais de
, vamos usar a regra da cadeia. Lembre-se que a derivada da função cosseno é o menos seno, e aplicamos a derivada interna do argumento.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, derivamos dentro do cosseno em relação a
.
Passo 5
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Fazemos o mesmo processo, mas agora em relação a
.
Passo 6
E a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, só derivamos em relação a
, já que
depende de
e
.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar
e
. Começando com
:
Usamos a derivada da arctan que é
, onde
.
Passo 8
Substituindo
e
nas expressões das derivadas de
:
Passo 9
Agora, vamos somar as três derivadas parciais:
Fizemos a soma direta das derivadas calculadas.
Passo 10
Para a expressão ser igual a zero, o que está dentro do parêntese precisa ser zero (já que o seno não é necessariamente zero). Ou seja:
No entanto, essa igualdade não se mantém para valores gerais de
,
e
. Portanto, a soma das derivadas parciais não é zero de forma geral.
Resposta
As funções dadas não satisfazem a equação
.