Calcule as derivadas das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas de funções racionais, mais especificamente a regra do quociente. Precisamos lembrar dessa regra para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No caso, temos:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra do quociente para derivadas. Se temos uma função , a derivada de é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de e .

Passo 4

Vamos calcular a derivada do numerador:
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada do denominador:
Derivando em relação a :

Passo 6

Com as derivadas encontradas, vamos aplicar a regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, expandir as multiplicações:
Agora, substituindo na expressão do numerador:
Simplificando termos semelhantes:

Passo 8

Agora, substituímos o numerador simplificado de volta na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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Resolva as equações:
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Avalie a convergência da sequência
onde e são números reais tais que .