Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série alternada e precisamos determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar testes de convergência de séries, como o Teste da Razão e o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Vamos começar analisando a série original:
Essa série é alternada porque os termos mudam de sinal a cada passo, devido ao fator .
Passo 3
Para verificar a convergência absoluta, devemos analisar a série dos valores absolutos:
Vamos simplificar o denominador. Observe que:
Portanto, a expressão fica:
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Razão para a série dos valores absolutos:
Como o limite é , a série dos valores absolutos converge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente. Isso significa que ela converge independentemente dos sinais alternados dos termos.