Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série alternada e precisamos determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar testes de convergência de séries, como o Teste da Razão e o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Vamos começar analisando a série original:
Essa série é alternada porque os termos mudam de sinal a cada passo, devido ao fator .

Passo 3

Para verificar a convergência absoluta, devemos analisar a série dos valores absolutos:
Vamos simplificar o denominador. Observe que:
Portanto, a expressão fica:

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Razão para a série dos valores absolutos:
Como o limite é , a série dos valores absolutos converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente. Isso significa que ela converge independentemente dos sinais alternados dos termos.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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Resolva as equações:
Avalie a convergência da sequência
onde e são números reais tais que .
(UFAL) A expressão permite o cálculo do número de bactérias existentes em uma cultura, ao completar horas do início de sua observação . Após quantas horas da primeira observação haverá 250000 bactérias nessa cultura? Dados e .