Calcule as derivadas:

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar a Regra do Produto, que é utilizada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. Também precisaremos saber como derivar a função tangente.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as duas partes da nossa função que estão sendo multiplicadas. Podemos chamar:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra do Produto. Ela diz que se , então a derivada é:
Ou seja, a derivada de multiplicada por mais multiplicada pela derivada de .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :
A derivada de uma constante (2) é 0 e a derivada de é -1.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de :
Lembrando que a derivada da tangente de é o quadrado da secante de .

Passo 6

Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Suponha que em algum intervalo uma função satisfaz a equação diferencial
para algum número real (dado).
(a) Assumindo que , obtenha que devemos ter para algum número real .
Sugestão: use a derivada logarítmica:
(b) Por que o resultado o item (a) continua válido mesmo sem a hipótese de que ?
Sugestão: Em cada intervalo em que a solução tem sinal fixo, esta deve ter a forma . Mas se não é a função nula, mas tem pontos em que temos uma situação contraditória (explique).
© É possível ter uma solução que anule-se apenas em um número finito (distinto de 0) de pontos isolados ? É possível ter uma solução que seja nula apenas em um intervalo aberto, e diferente de zero fora deste intervalo?
Sugestão: os argumentos usados em (b) mostram que: ou a solução é a solução trivial , ou a solução é diferente de zero em cada . Explique.
(Epidemias) Considere uma comunidade de membros contendo indivíduos infectados e indivíduos não-infectados, porém susceptíveis, onde . Seja a proporção de membros doentes em a proporção de membros sãos. Então,
Se é grande, então é razoável supor que e são variáveis contínuas. Assim, a taxa na qual a doença se expande é
Assumindo que a doença se espalha pelo contato entre membros da comunidade sãos e doentes, então é proporcional ao número de contatos que consideramos proporcional ao produto .
onde é a constante de proporcionalidade. Dada a condição inicial (onde é a densidade de indivíduos infectados no tempo
Determine em termos de e , e depois calcule
Sugestão: Como , temos
Resolva esta EDO separável para e depois avalie o limite.
Encontre todas as soluções de EDO
sobre o intervalo .
Resposta:
Sugestão: Esta EDO é linear. Podemos obter a solução geral do problema utilizando o método do fator integrante ou utilizando o método de variação de parâmetros.
Resolva o problema de valor inicial
Sugestão: Esta EDO é separável e por integração direta podemos obter sua solução geral . Apenas uma constante permitirá que atenda à condição inicial.
Para encontrar o domínio da solução, observe que não podemos ter com . Substitua o valor de obtida na equação que define implicitamente e determine (equação de grau ). Com base no valor obtido, qual é o domínio de ?
Resposta: a solução é dada implicitamente por