Calcule as derivadas:
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função
. Para isso, vamos usar a Regra do Produto, que é utilizada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. Também precisaremos saber como derivar a função tangente.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as duas partes da nossa função que estão sendo multiplicadas. Podemos chamar:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Regra do Produto. Ela diz que se
, então a derivada
é:
Ou seja, a derivada de
multiplicada por
mais
multiplicada pela derivada de
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
A derivada de uma constante (2) é 0 e a derivada de
é -1.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de
:
Lembrando que a derivada da tangente de
é o quadrado da secante de
.
Passo 6
Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Suponha que em algum intervalo
uma função
satisfaz a equação diferencial
para algum número real
(dado).
(a) Assumindo que , obtenha que devemos ter
para algum número real
.
Sugestão: use a derivada logarítmica:
(a) Assumindo que
Sugestão: use a derivada logarítmica:
(b) Por que o resultado o item (a) continua válido mesmo sem a hipótese de que
?
Sugestão: Em cada intervalo em que a solução tem sinal fixo, esta deve ter a forma . Mas se
não é a função nula, mas tem pontos em que
temos uma situação contraditória (explique).
© É possível ter uma solução que anule-se apenas em um número finito (distinto de 0) de pontos isolados ? É possível ter uma solução que seja nula apenas em um intervalo aberto, e diferente de zero fora deste intervalo?
Sugestão: os argumentos usados em (b) mostram que: ou a solução é a solução trivial , ou a solução
é diferente de zero em cada
. Explique.
Sugestão: Em cada intervalo em que a solução tem sinal fixo, esta deve ter a forma
© É possível ter uma solução que anule-se apenas em um número finito (distinto de 0) de pontos isolados ? É possível ter uma solução que seja nula apenas em um intervalo aberto, e diferente de zero fora deste intervalo?
Sugestão: os argumentos usados em (b) mostram que: ou a solução é a solução trivial
(Epidemias) Considere uma comunidade de
membros contendo
indivíduos infectados e
indivíduos não-infectados, porém susceptíveis, onde
. Seja
a proporção de membros doentes em
a proporção de membros sãos. Então,
Se
é grande, então é razoável supor que
e
são variáveis contínuas. Assim, a taxa na qual a doença se expande é
Assumindo que a doença se espalha pelo contato entre membros da comunidade sãos e doentes, então
é proporcional ao número de contatos que consideramos proporcional ao produto
.
onde
é a constante de proporcionalidade. Dada a condição inicial
(onde
é a densidade de indivíduos infectados no tempo
Determine em termos de
e
, e depois calcule
Determine
Sugestão: Como
, temos
Resolva esta EDO separável para
e depois avalie o limite.
Encontre todas as soluções de EDO
sobre o intervalo
.
Resposta:
Resposta:
Sugestão: Esta EDO é linear. Podemos obter a solução geral do problema utilizando o método do fator integrante ou utilizando o método de variação de parâmetros.
Resolva o problema de valor inicial
Sugestão: Esta EDO é separável e por integração direta podemos obter sua solução geral
. Apenas uma constante
permitirá que
atenda à condição inicial.
Para encontrar o domínio da solução, observe que não podemos ter com
. Substitua o valor de
obtida na equação que define
implicitamente e determine
(equação de grau
). Com base no valor obtido, qual é o domínio
de
?
Resposta: a solução é dada implicitamente por
Para encontrar o domínio da solução, observe que não podemos ter
Resposta: a solução é dada implicitamente por