Suponha que em algum intervalo I = ] a, b [ uma função u satisfaz a equação diferencial
d u/d t(t) = k u(t) (t em I)
para algum número real k (dado).
(a) Assumindo que u(t) != 0, para todo t, obtenha que devemos ter u(t) = c * e^(k * t) para algum número real c.
Sugestão: use a derivada logarítmica:
d/dt ln|u(t)| = 1/u(t) * du/dt
(b) Por que o resultado o item (a) continua válido mesmo sem a hipótese de que u(t) != 0, para todo t ?
Sugestão: Em cada intervalo em que a solução tem sinal fixo, esta deve ter a forma u(t) = mu * e^(c * t). Mas se u não é a função nula, mas tem pontos em que u = 0 temos uma situação contraditória (explique).
© É possível ter uma solução que anule-se apenas em um número finito (distinto de 0) de pontos isolados ? É possível ter uma solução que seja nula apenas em um intervalo aberto, e diferente de zero fora deste intervalo?
Sugestão: os argumentos usados em (b) mostram que: ou a solução é a solução trivial u(t) = 0, ou a solução u(t) é diferente de zero em cada t in R. Explique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equações diferenciais! A gente tem uma função que satisfaz a equação num intervalo. O conteúdo principal aqui é resolução de equações diferenciais de primeira ordem usando derivada logarítmica. Vamos precisar entender como aplicar a derivada logarítmica e resolver integrais para chegar à solução geral da função.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a). A gente parte da equação diferencial:
Como para todo no intervalo, podemos dividir ambos os lados por :
Isso nos dá a derivada logarítmica de :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integração da esquerda simplifica para e a da direita para , onde é a constante de integração:

Passo 4

Para resolver para , aplicamos a exponencial nos dois lados:
Como é uma constante positiva, podemos escrever , onde é uma constante real. Assim:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos ver por que a solução continua válida mesmo sem a hipótese de para todo . Se a solução tiver intervalos onde mantém o mesmo sinal, ela ainda seguirá a forma exponencial. Caso seja diferente de zero em quase todo lugar, exceto talvez em alguns pontos, isso forçaria a constante a ser zero para manter a solução consistente, ou seja, a solução seria a função nula .

Passo 6

Finalmente, na parte ©, a gente analisa se é possível ter soluções que se anulam em apenas alguns pontos ou em um intervalo aberto. Pelo que vimos, se a solução tiver pontos onde , isso implicaria que , tornando a função nula em todo o intervalo. Portanto, não é possível ter soluções que sejam nulas apenas em pontos isolados ou em intervalos abertos, a menos que a solução seja trivialmente zero em todo lugar.

Resposta

(a) A solução geral é , onde é uma constante real.
(b) Mesmo sem assumir para todo , a solução ainda é ou a função nula .
© Não é possível ter soluções que anulem somente em pontos isolados ou em intervalos abertos; ou a solução é a função nula em todo o intervalo ou nunca se anula.

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