Suponha que em algum intervalo
uma função
satisfaz a equação diferencial
para algum número real
(dado).
(a) Assumindo que
, obtenha que devemos ter
para algum número real
.
Sugestão: use a derivada logarítmica:
(b) Por que o resultado o item (a) continua válido mesmo sem a hipótese de que
?
Sugestão: Em cada intervalo em que a solução tem sinal fixo, esta deve ter a forma
. Mas se
não é a função nula, mas tem pontos em que
temos uma situação contraditória (explique).
© É possível ter uma solução que anule-se apenas em um número finito (distinto de 0) de pontos isolados ? É possível ter uma solução que seja nula apenas em um intervalo aberto, e diferente de zero fora deste intervalo?
Sugestão: os argumentos usados em (b) mostram que: ou a solução é a solução trivial
, ou a solução
é diferente de zero em cada
. Explique.
(a) Assumindo que
Sugestão: use a derivada logarítmica:
Sugestão: Em cada intervalo em que a solução tem sinal fixo, esta deve ter a forma
© É possível ter uma solução que anule-se apenas em um número finito (distinto de 0) de pontos isolados ? É possível ter uma solução que seja nula apenas em um intervalo aberto, e diferente de zero fora deste intervalo?
Sugestão: os argumentos usados em (b) mostram que: ou a solução é a solução trivial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equações diferenciais! A gente tem uma função
que satisfaz a equação
num intervalo. O conteúdo principal aqui é resolução de equações diferenciais de primeira ordem usando derivada logarítmica. Vamos precisar entender como aplicar a derivada logarítmica e resolver integrais para chegar à solução geral da função.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a). A gente parte da equação diferencial:
Como
para todo
no intervalo, podemos dividir ambos os lados por
:
Isso nos dá a derivada logarítmica de
:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integração da esquerda simplifica para
e a da direita para
, onde
é a constante de integração:
Passo 4
Para resolver para
, aplicamos a exponencial nos dois lados:
Como
é uma constante positiva, podemos escrever
, onde
é uma constante real. Assim:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos ver por que a solução
continua válida mesmo sem a hipótese de
para todo
. Se a solução tiver intervalos onde mantém o mesmo sinal, ela ainda seguirá a forma exponencial. Caso
seja diferente de zero em quase todo lugar, exceto talvez em alguns pontos, isso forçaria a constante
a ser zero para manter a solução consistente, ou seja, a solução seria a função nula
.
Passo 6
Finalmente, na parte ©, a gente analisa se é possível ter soluções que se anulam em apenas alguns pontos ou em um intervalo aberto. Pelo que vimos, se a solução tiver pontos onde
, isso implicaria que
, tornando
a função nula em todo o intervalo. Portanto, não é possível ter soluções que sejam nulas apenas em pontos isolados ou em intervalos abertos, a menos que a solução seja trivialmente zero em todo lugar.
Resposta
(a) A solução geral é
, onde
é uma constante real.
(b) Mesmo sem assumir
para todo
, a solução ainda é
ou a função nula
.
© Não é possível ter soluções que anulem somente em pontos isolados ou em intervalos abertos; ou a solução é a função nula em todo o intervalo ou nunca se anula.