Encontre todas as soluções de EDO
sobre o intervalo
.
Resposta:
Sugestão: Esta EDO é linear. Podemos obter a solução geral do problema utilizando o método do fator integrante ou utilizando o método de variação de parâmetros.
Resposta:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo que vamos usar. A gente precisa encontrar todas as soluções da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Definida no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver EDOs lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da EDO. A equação está na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o fator integrante,
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Calculando a integral de
:
Sabemos que:
Então, o fator integrante fica:
Passo 5
Multiplicamos toda a EDO pelo fator integrante
:
Simplificando
:
Então, a equação fica:
Passo 6
Perceba que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Resolvemos a integral do lado direito. Usando a identidade trigonométrica:
Então:
Passo 9
Substituímos de volta na equação:
Passo 10
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Podemos reescrever isso como: