Encontre todas as soluções de EDO
sobre o intervalo
.
Resposta:
Sugestão: Esta EDO é linear. Podemos obter a solução geral do problema utilizando o método do fator integrante ou utilizando o método de variação de parâmetros.
Resposta:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo que vamos usar. A gente precisa encontrar todas as soluções da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Definida no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver EDOs lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da EDO. A equação está na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o fator integrante,
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Calculando a integral de
:
Sabemos que:
Então, o fator integrante fica:
Passo 5
Multiplicamos toda a EDO pelo fator integrante
:
Simplificando
:
Então, a equação fica:
Passo 6
Perceba que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Resolvemos a integral do lado direito. Usando a identidade trigonométrica:
Então:
Passo 9
Substituímos de volta na equação:
Passo 10
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas:
Suponha que em algum intervalo
uma função
satisfaz a equação diferencial
para algum número real
(dado).
(a) Assumindo que , obtenha que devemos ter
para algum número real
.
Sugestão: use a derivada logarítmica:
(a) Assumindo que
Sugestão: use a derivada logarítmica:
(b) Por que o resultado o item (a) continua válido mesmo sem a hipótese de que
?
Sugestão: Em cada intervalo em que a solução tem sinal fixo, esta deve ter a forma . Mas se
não é a função nula, mas tem pontos em que
temos uma situação contraditória (explique).
© É possível ter uma solução que anule-se apenas em um número finito (distinto de 0) de pontos isolados ? É possível ter uma solução que seja nula apenas em um intervalo aberto, e diferente de zero fora deste intervalo?
Sugestão: os argumentos usados em (b) mostram que: ou a solução é a solução trivial , ou a solução
é diferente de zero em cada
. Explique.
Sugestão: Em cada intervalo em que a solução tem sinal fixo, esta deve ter a forma
© É possível ter uma solução que anule-se apenas em um número finito (distinto de 0) de pontos isolados ? É possível ter uma solução que seja nula apenas em um intervalo aberto, e diferente de zero fora deste intervalo?
Sugestão: os argumentos usados em (b) mostram que: ou a solução é a solução trivial
Resolva o problema de valor inicial
Sugestão: Esta EDO é separável e por integração direta podemos obter sua solução geral
. Apenas uma constante
permitirá que
atenda à condição inicial.
Para encontrar o domínio da solução, observe que não podemos ter com
. Substitua o valor de
obtida na equação que define
implicitamente e determine
(equação de grau
). Com base no valor obtido, qual é o domínio
de
?
Resposta: a solução é dada implicitamente por
Para encontrar o domínio da solução, observe que não podemos ter
Resposta: a solução é dada implicitamente por
Determine uma solução (explicitando seu domínio de definição) para os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
(a)
Resposta:
com domínio
.
(b)
(b)
Resposta:
.
Sugestão: use o método do fator integrante ou o método de variação de parâmetros.
Sugestão: use o método do fator integrante ou o método de variação de parâmetros.