Encontre todas as soluções de EDO
sobre o intervalo .
Resposta:
Sugestão: Esta EDO é linear. Podemos obter a solução geral do problema utilizando o método do fator integrante ou utilizando o método de variação de parâmetros.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo que vamos usar. A gente precisa encontrar todas as soluções da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Definida no intervalo . Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver EDOs lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da EDO. A equação está na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o fator integrante, , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Calculando a integral de :
Sabemos que:
Então, o fator integrante fica:

Passo 5

Multiplicamos toda a EDO pelo fator integrante :
Simplificando :
Então, a equação fica:

Passo 6

Perceba que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:

Passo 8

Resolvemos a integral do lado direito. Usando a identidade trigonométrica:
Então:

Passo 9

Substituímos de volta na equação:

Passo 10

Isolamos dividindo ambos os lados por :
Podemos reescrever isso como:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas:
Suponha que em algum intervalo uma função satisfaz a equação diferencial
para algum número real (dado).
(a) Assumindo que , obtenha que devemos ter para algum número real .
Sugestão: use a derivada logarítmica:
(b) Por que o resultado o item (a) continua válido mesmo sem a hipótese de que ?
Sugestão: Em cada intervalo em que a solução tem sinal fixo, esta deve ter a forma . Mas se não é a função nula, mas tem pontos em que temos uma situação contraditória (explique).
© É possível ter uma solução que anule-se apenas em um número finito (distinto de 0) de pontos isolados ? É possível ter uma solução que seja nula apenas em um intervalo aberto, e diferente de zero fora deste intervalo?
Sugestão: os argumentos usados em (b) mostram que: ou a solução é a solução trivial , ou a solução é diferente de zero em cada . Explique.
Resolva o problema de valor inicial
Sugestão: Esta EDO é separável e por integração direta podemos obter sua solução geral . Apenas uma constante permitirá que atenda à condição inicial.
Para encontrar o domínio da solução, observe que não podemos ter com . Substitua o valor de obtida na equação que define implicitamente e determine (equação de grau ). Com base no valor obtido, qual é o domínio de ?
Resposta: a solução é dada implicitamente por
Determine uma solução (explicitando seu domínio de definição) para os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
Resposta: com domínio .
(b)
Resposta: .
Sugestão: use o método do fator integrante ou o método de variação de parâmetros.