Encontre todas as soluções de EDO
d u/d t + cotg(t) u = 2 cos(t)
sobre o intervalo ] 0, pi [.
Resposta:
u(t) = (C - cos(2t)) / (2 sen(t))
Sugestão: Esta EDO é linear. Podemos obter a solução geral do problema utilizando o método do fator integrante ou utilizando o método de variação de parâmetros.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo que vamos usar. A gente precisa encontrar todas as soluções da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Definida no intervalo . Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver EDOs lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da EDO. A equação está na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o fator integrante, , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Calculando a integral de :
Sabemos que:
Então, o fator integrante fica:

Passo 5

Multiplicamos toda a EDO pelo fator integrante :
Simplificando :
Então, a equação fica:

Passo 6

Perceba que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:

Passo 8

Resolvemos a integral do lado direito. Usando a identidade trigonométrica:
Então:

Passo 9

Substituímos de volta na equação:

Passo 10

Isolamos dividindo ambos os lados por :
Podemos reescrever isso como:

Resposta

u(t) = (C - cos(2t)) / (2 sen(t))

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