(Epidemias) Considere uma comunidade de membros contendo indivíduos infectados e indivíduos não-infectados, porém susceptíveis, onde . Seja a proporção de membros doentes em a proporção de membros sãos. Então,
Se é grande, então é razoável supor que e são variáveis contínuas. Assim, a taxa na qual a doença se expande é
Assumindo que a doença se espalha pelo contato entre membros da comunidade sãos e doentes, então é proporcional ao número de contatos que consideramos proporcional ao produto .
onde é a constante de proporcionalidade. Dada a condição inicial (onde é a densidade de indivíduos infectados no tempo
Determine em termos de e , e depois calcule
Sugestão: Como , temos
Resolva esta EDO separável para e depois avalie o limite.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma comunidade de pessoas, onde estão infectadas e estão suscetíveis a pegar a doença, com . Queremos descobrir como a proporção de pessoas infectadas, , muda ao longo do tempo e, no fim, qual será essa proporção quando o tempo tende ao infinito.
Para resolver isso, vamos precisar usar equações diferenciais, especificamente uma equação separável, e entender um pouco sobre taxas de propagação de doenças. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as proporções de infectados e suscetíveis. Sabemos que:
Isso significa que . A taxa de mudança da proporção de infectados ao longo do tempo é dada por:
Substituindo por , temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Como ela é separável, podemos reorganizar os termos para separar as variáveis e :

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo requer um pouco de atenção:
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando frações parciais:
Então,
Integrando, obtemos:
O que simplifica para:

Passo 5

Agora, resolvemos para . Primeiro, exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos chamar de outra constante, digamos :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar . Substituindo :
Resolvendo para :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para , temos:
Podemos também reescrever isso de uma forma mais elegante:

Resposta

A solução para é
E o limite quando tende ao infinito é
Isso significa que, com o tempo, toda a comunidade acabará sendo infectada.

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas:
Calcule as derivadas:
Suponha que em algum intervalo uma função satisfaz a equação diferencial
para algum número real (dado).
(a) Assumindo que , obtenha que devemos ter para algum número real .
Sugestão: use a derivada logarítmica:
(b) Por que o resultado o item (a) continua válido mesmo sem a hipótese de que ?
Sugestão: Em cada intervalo em que a solução tem sinal fixo, esta deve ter a forma . Mas se não é a função nula, mas tem pontos em que temos uma situação contraditória (explique).
© É possível ter uma solução que anule-se apenas em um número finito (distinto de 0) de pontos isolados ? É possível ter uma solução que seja nula apenas em um intervalo aberto, e diferente de zero fora deste intervalo?
Sugestão: os argumentos usados em (b) mostram que: ou a solução é a solução trivial , ou a solução é diferente de zero em cada . Explique.
Calcule as derivadas: