(Epidemias) Considere uma comunidade de
membros contendo
indivíduos infectados e
indivíduos não-infectados, porém susceptíveis, onde
. Seja
a proporção de membros doentes em
a proporção de membros sãos. Então,
Se
é grande, então é razoável supor que
e
são variáveis contínuas. Assim, a taxa na qual a doença se expande é
Assumindo que a doença se espalha pelo contato entre membros da comunidade sãos e doentes, então
é proporcional ao número de contatos que consideramos proporcional ao produto
.
onde
é a constante de proporcionalidade. Dada a condição inicial
(onde
é a densidade de indivíduos infectados no tempo
Determine
em termos de
e
, e depois calcule
Sugestão: Como
, temos
Resolva esta EDO separável para
e depois avalie o limite.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma comunidade de
pessoas, onde
estão infectadas e
estão suscetíveis a pegar a doença, com
. Queremos descobrir como a proporção de pessoas infectadas,
, muda ao longo do tempo e, no fim, qual será essa proporção quando o tempo tende ao infinito.
Para resolver isso, vamos precisar usar equações diferenciais, especificamente uma equação separável, e entender um pouco sobre taxas de propagação de doenças. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as proporções de infectados e suscetíveis. Sabemos que:
Isso significa que
. A taxa de mudança da proporção de infectados ao longo do tempo é dada por:
Substituindo
por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Como ela é separável, podemos reorganizar os termos para separar as variáveis
e
:
Passo 4
Em seguida, integramos ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo requer um pouco de atenção:
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando frações parciais:
Então,
Integrando, obtemos:
O que simplifica para:
Passo 5
Agora, resolvemos para
. Primeiro, exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos chamar
de outra constante, digamos
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
:
Resolvendo para
:
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão para
, temos:
Podemos também reescrever isso de uma forma mais elegante:
Resposta
A solução para
é
E o limite quando
tende ao infinito é
Isso significa que, com o tempo, toda a comunidade acabará sendo infectada.