(Epidemias) Considere uma comunidade de n membros contendo p indivíduos infectados e q indivíduos não-infectados, porém susceptíveis, onde p+q=n. Seja x a proporção de membros doentes em y a proporção de membros sãos. Então,
x=pn, y=qn e x+y=1
Se n é grande, então é razoável supor que x e y são variáveis contínuas. Assim, a taxa na qual a doença se expande é
d xd t
Assumindo que a doença se espalha pelo contato entre membros da comunidade sãos e doentes, então d x / d t é proporcional ao número de contatos que consideramos proporcional ao produto x y.
d xd t=beta x y
onde beta>0 é a constante de proporcionalidade. Dada a condição inicial x(0)=x0 (onde x0 é a densidade de indivíduos infectados no tempo t=0)
Determine x(t) em termos de x0 e t, e depois calcule
lim t +infty x(t)
Sugestão: Como y=1-x, temos
d xd t=beta x(1-x)
Resolva esta EDO separável para x e depois avalie o limite.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma comunidade de n pessoas, onde p estão infectadas e q estão suscetíveis a pegar a doença, com p + q = n. Queremos descobrir como a proporção de pessoas infectadas, x(t), muda ao longo do tempo e, no fim, qual será essa proporção quando o tempo tende ao infinito.
Para resolver isso, vamos precisar usar equações diferenciais, especificamente uma equação separável, e entender um pouco sobre taxas de propagação de doenças. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as proporções de infectados e suscetíveis. Sabemos que:
x = pn, y = qn e x + y = 1
Isso significa que y = 1 - x. A taxa de mudança da proporção de infectados ao longo do tempo é dada por:
d xd t = beta x y
Substituindo y por 1 - x, temos:
d xd t = beta x (1 - x)

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Como ela é separável, podemos reorganizar os termos para separar as variáveis x e t:
d xx (1 - x) = beta , dt

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo requer um pouco de atenção:
integral 1x (1 - x) , d x = integral beta , dt
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando frações parciais:
1x (1 - x) = 1x + 11 - x
Então,
integral ( 1x + 11 - x ) , d x = beta t + C
Integrando, obtemos:
ln|x| - ln|1 - x| = beta t + C
O que simplifica para:
ln(x1 - x) = beta t + C

Passo 5

Agora, resolvemos para x. Primeiro, exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
x1 - x = e^beta t + C = e^C e^beta t
Podemos chamar e^C de outra constante, digamos K:
x1 - x = K e^beta t
Resolvendo para x:
x = K e^beta t1 + K e^beta t

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial x(0) = x0 para encontrar K. Substituindo t = 0:
x0 = K1 + K
Resolvendo para K:
K = x01 - x0

Passo 7

Substituindo K de volta na expressão para x, temos:
x(t) = (x01 - x0) e^beta t1 + (x01 - x0) e^beta t = x0 e^beta t1 - x0 + x0 e^beta t
Podemos também reescrever isso de uma forma mais elegante:
x(t) = 11 + (1 - x0x0) e^-beta t

Resposta

A solução para x(t) é
x(t) = 11 + (1 - x0x0) e^-beta t
E o limite quando t tende ao infinito é
limt +infty x(t) = 1
Isso significa que, com o tempo, toda a comunidade acabará sendo infectada.

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