Calcule , onde

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que precisamos fazer aqui. A gente tem uma matriz de ordem 4x4 com números complexos e queremos calcular o determinante dela, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar métodos de cálculo de determinantes para matrizes maiores, como a expansão por cofatores ou a transformação da matriz em triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz para ficar mais fácil de visualizar:
Aqui, representa a unidade imaginária, onde .

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, uma das maneiras é transformar a matriz em uma matriz triangular (toda a parte abaixo ou acima da diagonal principal é composta por zeros). O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos usar operações de linha para conseguir isso.

Passo 4

Primeiro, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos nas posições (2,1), (3,1) e (4,1).
  • Eliminando o elemento (2,1):
    Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda linha:
  • Eliminando o elemento (3,1):
    Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da terceira linha:
  • Eliminando o elemento (4,1):
    Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da quarta linha:

Passo 5

Após essas operações, a matriz fica assim:
Agora, temos zeros na primeira coluna abaixo da primeira linha, o que facilita o próximo passo.

Passo 6

Vamos agora zerar os elementos abaixo do segundo elemento da segunda coluna (posição (3,2) e (4,2)). Para isso, usamos a segunda linha:
  • Eliminando o elemento (3,2):
    Multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da terceira linha.
  • Eliminando o elemento (4,2):
    Multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da quarta linha.

Passo 7

Após essas operações, a matriz fica tridimensionalmente triangular, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros:

Passo 8

Agora que a matriz está triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Vamos calcular passo a passo:

Resposta

O determinante da matriz é .

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