Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir. Utilize a expansão por cofatores.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz usando a expansão por cofatores. A matriz é uma matriz 5x5, então calcular o determinante diretamente pode ser um pouco trabalhoso. Vamos precisar conhecer o conceito de determinante e como funciona a expansão por cofatores para simplificar o processo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes maiores, a expansão por cofatores é uma técnica útil para calcular o determinante de maneira mais simples.
Passo 3
A expansão por cofatores consiste em escolher uma linha ou coluna da matriz e multiplicar cada elemento dessa linha ou coluna pelo seu cofator correspondente. O cofator é calculado como o determinante da submatriz que sobra quando removemos a linha e a coluna do elemento, multiplicado por , onde e são os índices da linha e coluna do elemento.
Vamos notar que as últimas duas colunas têm muitos zeros, especialmente a quinta coluna que tem apenas um elemento não zero. Para facilitar o cálculo, vamos expandir o determinante pela quinta coluna.
Passo 5
Vamos aplicar a expansão por cofatores na quinta coluna. A fórmula geral para o determinante usando a expansão por cofatores na quinta coluna é:
det(A) = sumi=1^5 Ai5 cdot Ci5
onde são os elementos da quinta coluna e são os cofatores correspondentes.
Passo 6
Observando a quinta coluna:
0 0 0 0 -1
A única entrada não zero é na posição . Portanto, todos os termos na expansão serão , exceto aquele correspondente a .
Passo 7
Calculando o cofator C55 = (-1)^5+5 cdot det(A55) :