Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir. Utilize a expansão por cofatores.
A=[rcrrr3 & 0 & 0 & 0 & 0 19 & 18 & 0 & 0 & 0 -6 & pi & -5 & 0 & 0 4 & raiz2 & raiz3 & 0 & 0 8 & 3 & 5 & 6 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz usando a expansão por cofatores. A matriz é uma matriz 5x5, então calcular o determinante diretamente pode ser um pouco trabalhoso. Vamos precisar conhecer o conceito de determinante e como funciona a expansão por cofatores para simplificar o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes maiores, a expansão por cofatores é uma técnica útil para calcular o determinante de maneira mais simples.

Passo 3

A expansão por cofatores consiste em escolher uma linha ou coluna da matriz e multiplicar cada elemento dessa linha ou coluna pelo seu cofator correspondente. O cofator é calculado como o determinante da submatriz que sobra quando removemos a linha e a coluna do elemento, multiplicado por , onde e são os índices da linha e coluna do elemento.

Passo 4

Analisando a matriz A = 3 & 0 & 0 & 0 & 0 19 & 18 & 0 & 0 & 0 -6 & pi & -5 & 0 & 0 4 & raiz2 & raiz3 & 0 & 0 8 & 3 & 5 & 6 & -1 :
Vamos notar que as últimas duas colunas têm muitos zeros, especialmente a quinta coluna que tem apenas um elemento não zero. Para facilitar o cálculo, vamos expandir o determinante pela quinta coluna.

Passo 5

Vamos aplicar a expansão por cofatores na quinta coluna. A fórmula geral para o determinante usando a expansão por cofatores na quinta coluna é:
det(A) = sumi=1^5 Ai5 cdot Ci5
onde são os elementos da quinta coluna e são os cofatores correspondentes.

Passo 6

Observando a quinta coluna:
0 0 0 0 -1
A única entrada não zero é na posição . Portanto, todos os termos na expansão serão , exceto aquele correspondente a .

Passo 7

Calculando o cofator C55 = (-1)^5+5 cdot det(A55) :
A55 = 3 & 0 & 0 & 0 19 & 18 & 0 & 0 -6 & pi & -5 & 0 4 & raiz2 & raiz3 & 0
Como que é par, . A submatriz é a matriz resultante de remover a quinta linha e a quinta coluna de :

Passo 8

Agora, precisamos calcular . Observamos que a última coluna de é toda zeros, o que significa que o determinante dessa submatriz é .

Passo 9

Voltando à fórmula do determinante:
det(A) = A55 cdot C55 = (-1) cdot 0 = 0

Resposta

O determinante da matriz é .

Exercícios relacionados

Justifique que det(A)=0, onde A=[rrrr-2 & 8 & 1 & 4 3 & 2 & 5 & 1 1 & 10 & 6 & 5 4 & -6 & 4 & -3] sem fazer o cálculo do determinante.
Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir. Utilize a expansão por cofatores.
A=[rrrr12 & 7 & 12 & 8 4 & -1 & 2 & 3 1 & 6 & -2 & 1 -2 & 3 & 2 & 1]
Sejam A e B matrizes do tipo n times n. Verifique se as condições abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique (pode comprovar com exemplos numéricos).
Se A é uma matriz 3 times 3, então: a11 De.
Diga se as matrizes abaixo tem inversa. Se tiver, encontre-a.
[rr32 & 4 -1 & -3]