Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir. Utilize a expansão por cofatores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz usando a expansão por cofatores. Para isso, vamos precisar entender o que é determinante, o que são cofatores e como aplicar a expansão por cofatores em uma matriz 4x4.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante é um número que a gente pode calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes, como se a matriz tem inversa ou não. Para matrizes 2x2, a fórmula é simples, mas para matrizes maiores, como a 4x4 que temos aqui, a gente usa a expansão por cofatores.
Passo 3
A expansão por cofatores consiste em escolher uma linha ou coluna da matriz e, para cada elemento dessa linha ou coluna, calcular seu cofator e multiplicar pelo elemento. Depois, somamos todos esses produtos para obter o determinante. O cofactor de um elemento é dado por vezes o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna do elemento.
Passo 4
Vamos escolher a primeira linha da matriz para facilitar os cálculos. A primeira linha tem os elementos 12, 7, e 8. Vamos calcular o cofator de cada um desses elementos.
Passo 5
Para calcular o cofactor do primeiro elemento (12), removemos a primeira linha e a primeira coluna, ficando com a matriz menor:
[rrr -1 & 2 & 3 6 & -2 & 1 3 & 2 & 1 ]
O determinante dessa matriz é calculado assim:
-1 times (-2 times 1 - 1 times 2) - 2 times (6 times 1 - 1 times 3) + 3 times (6 times 2 - (-2) times 3) = -1 times (-4) - 2 times (3) + 3 times (12) = 4 - 6 + 36 = 34
Então, o cofactor é .
Passo 6
Agora, para o segundo elemento da primeira linha (7), removemos a primeira linha e a segunda coluna:
[rrr 4 & 2 & 3 1 & -2 & 1 -2 & 2 & 1 ]
Calculando o determinante:
4 times (-2 times 1 - 1 times 2) - 2 times (1 times 1 - 1 times (-2)) + 3 times (1 times 2 - (-2) times (-2)) = 4 times (-4) - 2 times 3 + 3 times (-2) = -16 - 6 -6 = -28
O cofactor é .
Passo 7
Para o terceiro elemento da primeira linha [rrr 4 & -1 & 3 1 & 6 & 1 -2 & 3 & 1 ] , removemos a primeira linha e a terceira coluna:
4 times (6 times 1 - 1 times 3) - (-1) times (1 times 1 - 1 times (-2)) + 3 times (1 times 3 - 6 times (-2)) = 4 times 3 - (-1) times 3 + 3 times 15 = 12 + 3 + 45 = 60
Calculando o determinante:
O cofactor é .
Passo 8
Finalmente, para o quarto elemento da primeira linha (8), removemos a primeira linha e a quarta coluna:
[rrr 4 & -1 & 2 1 & 6 & -2 -2 & 3 & 2 ]
Calculando o determinante:
4 times (6 times 2 - (-2) times 3) - (-1) times (1 times 2 - (-2) times (-2)) + 2 times (1 times 3 - 6 times (-2)) = 4 times 18 - (-1) times (-2) + 2 times 15 = 72 - 2 + 30 = 100
O cofactor é .
Passo 9
Agora, vamos somar todos os produtos dos elementos da primeira linha pelos seus respectivos cofatores:
12 times 34 + 7 times 28 + 12 times (-60) + 8 times 100 = 408 + 196 - 30 + 800 = 1374