Sejam e matrizes do tipo . Verifique se as condições abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique (pode comprovar com exemplos numéricos).
Se é uma matriz , então: .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: Temos duas matrizes quadradas de ordem , chamadas e . A questão pede para verificarmos se a seguinte igualdade é sempre verdadeira quando é uma matriz :
Aqui, representa o elemento da matriz na linha e coluna , e provavelmente se refere ao cofactor associado a esse elemento. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são cofatores e como eles se relacionam com determinantes e a inversa de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre cofatores. Em uma matriz, o cofator de um elemento é definido como:
Onde é a matriz que fica depois de remover a linha e a coluna de , e é o determinante dessa matriz menor.
Os cofatores são usados para calcular o determinante de uma matriz e também aparecem na fórmula da matriz adjunta, que é fundamental para encontrar a inversa de uma matriz.
Passo 3
Agora, vamos considerar a fórmula do determinante para uma matriz . O determinante de pode ser calculado expandindo pela primeira linha:
Isso significa que a soma dos produtos dos elementos da primeira linha pelas suas respectivos cofatores nos dá o determinante da matriz.
Passo 4
De forma análoga, podemos expandir o determinante de pela segunda linha:
Isso nos mostra que o determinante pode ser calculado expandindo qualquer linha ou coluna da matriz.
Passo 5
A igualdade apresentada no problema é:
Pelo que vimos, ambas as expressões à esquerda e à direita da igualdade são equivalentes ao determinante de . Ou seja:
Isso significa que, independentemente de qual linha usamos para expandir o determinante, o resultado será o mesmo.
Resposta
A igualdade é verdadeira porque ambas as somas representam o determinante da matriz , independentemente da linha utilizada para a expansão.