Sejam A e B matrizes do tipo n times n. Verifique se as condições abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique (pode comprovar com exemplos numéricos).
Se A é uma matriz 3 times 3, então: a11 De.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: Temos duas matrizes quadradas de ordem n, chamadas A e B. A questão pede para verificarmos se a seguinte igualdade é sempre verdadeira quando A é uma matriz 3 times 3:
a11 De
Aqui, aij representa o elemento da matriz A na linha i e coluna j, e De provavelmente se refere ao cofactor associado a esse elemento. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são cofatores e como eles se relacionam com determinantes e a inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre cofatores. Em uma matriz, o cofator De de um elemento aij é definido como:
De
Onde Mij é a matriz que fica depois de remover a linha i e a coluna j de A, e det(Mij) é o determinante dessa matriz menor.
Os cofatores são usados para calcular o determinante de uma matriz e também aparecem na fórmula da matriz adjunta, que é fundamental para encontrar a inversa de uma matriz.

Passo 3

Agora, vamos considerar a fórmula do determinante para uma matriz 3 times 3. O determinante de A pode ser calculado expandindo pela primeira linha:
det(A) = a11 De
Isso significa que a soma dos produtos dos elementos da primeira linha pelas suas respectivos cofatores nos dá o determinante da matriz.

Passo 4

De forma análoga, podemos expandir o determinante de A pela segunda linha:
det(A) = a21 De
Isso nos mostra que o determinante pode ser calculado expandindo qualquer linha ou coluna da matriz.

Passo 5

A igualdade apresentada no problema é:
a11 De
Pelo que vimos, ambas as expressões à esquerda e à direita da igualdade são equivalentes ao determinante de A. Ou seja:
det(A) = det(A)
Isso significa que, independentemente de qual linha usamos para expandir o determinante, o resultado será o mesmo.

Resposta

A igualdade é verdadeira porque ambas as somas representam o determinante da matriz A, independentemente da linha utilizada para a expansão.

Exercícios relacionados

Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir. Utilize a expansão por cofatores.
A=[rcrrr3 & 0 & 0 & 0 & 0 19 & 18 & 0 & 0 & 0 -6 & pi & -5 & 0 & 0 4 & raiz2 & raiz3 & 0 & 0 8 & 3 & 5 & 6 & -1]
Justifique que det(A)=0, onde A=[rrrr-2 & 8 & 1 & 4 3 & 2 & 5 & 1 1 & 10 & 6 & 5 4 & -6 & 4 & -3] sem fazer o cálculo do determinante.
Diga se as matrizes abaixo tem inversa. Se tiver, encontre-a.
[rr32 & 4 -1 & -3]
Use determinantes para descobrir se a matriz é invertível.
[lll2 & 3 & 0 1 & 3 & 4 1 & 2 & 1]