Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir. Utilize a expansão por cofatores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o determinante da matriz A = 3 & -1 & 5 & 0 0 & 2 & 0 & 1 2 & 0 & -1 & 3 1 & 1 & 2 & 0 que foi dada. O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e a expansão por cofatores. Para isso, vamos precisar entender como escolher uma linha ou coluna para expandir e calcular os menores e os cofatores correspondentes.
Matriz :
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma linha ou coluna para fazer a expansão por cofatores. Geralmente, é mais fácil escolher a linha ou coluna com mais zeros para simplificar os cálculos. Aqui, vamos escolher a segunda coluna porque ela tem um zero, o que facilita a conta.
Passo 3
Vamos lembrar que o determinante pode ser calculado somando os produtos dos elementos da linha ou coluna escolhida pelos seus respectivos cofatores. O cofator de um elemento é dado por vezes o menor correspondente, onde e são as posições da linha e coluna do elemento.
Passo 4
Vamos calcular o determinante expandindo pela segunda coluna da matriz det(A) = (-1)^1+2 cdot (-1) cdot M1,2 + (-1)^2+2 cdot 2 cdot M2,2 + (-1)^3+2 cdot 0 cdot M3,2 + (-1)^4+2 cdot 1 cdot M4,2 :
Aqui, é o menor da matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.