Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir. Utilize a expansão por cofatores.
A=[rrrr3 & -1 & 5 & 0 0 & 2 & 0 & 1 2 & 0 & -1 & 3 1 & 1 & 2 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o determinante da matriz A = 3 & -1 & 5 & 0 0 & 2 & 0 & 1 2 & 0 & -1 & 3 1 & 1 & 2 & 0 que foi dada. O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e a expansão por cofatores. Para isso, vamos precisar entender como escolher uma linha ou coluna para expandir e calcular os menores e os cofatores correspondentes.
Matriz :

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma linha ou coluna para fazer a expansão por cofatores. Geralmente, é mais fácil escolher a linha ou coluna com mais zeros para simplificar os cálculos. Aqui, vamos escolher a segunda coluna porque ela tem um zero, o que facilita a conta.

Passo 3

Vamos lembrar que o determinante pode ser calculado somando os produtos dos elementos da linha ou coluna escolhida pelos seus respectivos cofatores. O cofator de um elemento é dado por vezes o menor correspondente, onde e são as posições da linha e coluna do elemento.

Passo 4

Vamos calcular o determinante expandindo pela segunda coluna da matriz det(A) = (-1)^1+2 cdot (-1) cdot M1,2 + (-1)^2+2 cdot 2 cdot M2,2 + (-1)^3+2 cdot 0 cdot M3,2 + (-1)^4+2 cdot 1 cdot M4,2 :
Aqui, é o menor da matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
  1. Primeiro termo:
(-1)^3 cdot (-1) cdot M1,2 = -1 cdot (-1) cdot M1,2 = M1,2
Matriz menor 0 & 0 & 1 2 & -1 & 3 1 & 2 & 0 :
0 cdot -1 & 3 2 & 0 - 0 cdot 2 & 3 1 & 0 + 1 cdot 2 & -1 1 & 2 = 1 cdot (2 cdot 2 - (-1) cdot 1) = 1 cdot (4 + 1) = 5
Determinante de (-1)^4 cdot 2 cdot M2,2 = 1 cdot 2 cdot M2,2 = 2 cdot M2,2 :
3 & 5 & 0 2 & -1 & 3 1 & 2 & 0
  1. Segundo termo:
3 cdot -1 & 3 2 & 0 - 5 cdot 2 & 3 1 & 0 + 0 cdot 2 & -1 1 & 2 = 3 cdot ((-1)(0) - (3)(2)) - 5 cdot ((2)(0) - (3)(1)) = 3 cdot (-6) - 5 cdot (-3) = -18 + 15 = -3
Matriz menor (-1)^5 cdot 0 cdot M3,2 = -1 cdot 0 cdot M3,2 = 0 :
(-1)^6 cdot 1 cdot M4,2 = 1 cdot 1 cdot M4,2 = M4,2
Determinante de 3 & 5 & 0 0 & 0 & 1 2 & -1 & 3 :
3 cdot 0 & 1 -1 & 3 - 5 cdot 0 & 1 2 & 3 + 0 cdot 0 & 0 2 & -1 = 3 cdot (0 cdot 3 - 1 cdot (-1)) - 5 cdot (0 cdot 3 - 1 cdot 2) = 3 cdot (0 + 1) - 5 cdot (0 - 2) = 3 + 10 = 13
Então,
  1. Terceiro termo:
  1. Quarto termo:
Matriz menor :
Determinante de :

Resposta

Agora, somando todos os termos:
det(A) = 5 - 6 + 0 + 13 = 12
Então, o determinante da matriz é .

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