Calcule o determinante da matriz
A=[cccc 0 & 2 & -1 & 3 1 & 0 & 2 & 2 0 & -1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 & 5 ]

Passo 1

Então, temos que calcular o determinante da seguinte matriz A = 0 & 2 & -1 & 3 1 & 0 & 2 & 2 0 & -1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 & 5 :
Vamos usar os conceitos de determinantes de matrizes quadradas e a técnica de expansão por menores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma linha ou coluna para expandir o determinante. É mais fácil escolher uma linha ou coluna com zeros, já que isso simplifica os cálculos. Olhando para a matriz, a primeira linha tem um zero, então vamos expandir por ela.

Passo 3

A fórmula para o determinante usando a expansão por menores na primeira linha é:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Substituindo os valores da primeira linha na fórmula:
det(A) = 0 cdot C11 + 2 cdot C12 + (-1) cdot C13 + 3 cdot C14
Como det(A) = 2C12 - C13 + 3C14 , o primeiro termo desaparece:

Passo 5

Agora, vamos calcular cada cofator:
Cofator 1 & 2 & 2 0 & 1 & 1 1 & 1 & 5 :
Removendo a primeira linha e a segunda coluna, obtemos a matriz menor:
C12 = -det 1 & 2 & 2 0 & 1 & 1 1 & 1 & 5
O cofator é 1 & 0 & 2 0 & -1 & 1 1 & 2 & 5 vezes o determinante dessa matriz:
C13 = det 1 & 0 & 2 0 & -1 & 1 1 & 2 & 5
Cofator 1 & 0 & 2 0 & -1 & 1 1 & 2 & 1 :
Removendo a primeira linha e a terceira coluna, obtemos:
C14 = det 1 & 0 & 2 0 & -1 & 1 1 & 2 & 1
O cofator é vezes o determinante dessa matriz:
Cofator :
Removendo a primeira linha e a quarta coluna, obtemos:
O cofator é vezes o determinante dessa matriz:

Passo 6

Vamos calcular cada determinante dos menores:
Determinate de det 1 & 2 & 2 0 & 1 & 1 1 & 1 & 5 = 1 cdot (1 cdot 5 - 1 cdot 1) - 2 cdot (0 cdot 5 - 1 cdot 1) + 2 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1 cdot 4 - 2 cdot (-1) + 2 cdot (-1) = 4 + 2 - 2 = 4 :
det 1 & 0 & 2 0 & -1 & 1 1 & 2 & 5 = 1 cdot (-1 cdot 5 - 1 cdot 2) - 0 + 2 cdot (0 cdot 2 - (-1) cdot 1) = 1 cdot (-7) + 2 cdot 1 = -7 + 2 = -5
Então, det 1 & 0 & 2 0 & -1 & 1 1 & 2 & 1 = 1 cdot (-1 cdot 1 - 1 cdot 2) - 0 + 2 cdot (0 cdot 2 - (-1) cdot 1) = 1 cdot (-3) + 2 cdot 1 = -3 + 2 = -1 .
Determinante de :
Então, .
Determinante de :
Então, .

Passo 7

Agora, substituímos os valores dos cofatores na expressão original do determinante:
det(A) = 2 cdot (-4) - (-5) + 3 cdot (-1) = -8 + 5 - 3 = -6

Resposta

O determinante da matriz é .

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