Para a matriz K=(lll0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0), encontre os autovalores e autovetores normalizados.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os autovalores e autovetores normalizados da matriz 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 . Esse exercício faz parte do estudo de álgebra linear, especificamente envolvendo conceitos de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar calcular os autovalores através do determinante da matriz e, em seguida, encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor, normalizando-os.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular K - lambda I = 0 - lambda & 0 & 1 1 & 0 - lambda & 0 0 & 1 & 0 - lambda = -lambda & 0 & 1 1 & -lambda & 0 0 & 1 & -lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(K - lambda I) = -lambda -lambda & 0 1 & -lambda - 0 + 1 1 & -lambda 0 & 1
= -lambda [(-lambda)(-lambda) - 0 cdot 1] + 1 [1 cdot 1 - (-lambda) cdot 0]
= -lambda (lambda^2) + 1 (1)
= -lambda^3 + 1
= -lambda^3 + 1 = 0 Rightarrow lambda^3 = 1 Rightarrow lambda = 1
Além de , também temos as raízes complexas e .

Passo 5

Os autovalores são:
lambda1 = 1, lambda2 = -12 + iraiz32, lambda3 = -12 - iraiz32

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para um autovalor , resolvemos .

Passo 7

Para (K - I) = -1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 :
1 1 1
Resolvendo o sistema, obtemos o autovetor |v1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 . Normalizando:
u1 = 1raiz3 1 1 1

Passo 8

Para 1 lambda2 lambda2^2 :
Resolvendo u2 = 1raiz3 1 -12 + iraiz32 -12 - iraiz32 , encontramos o autovetor . Após simplificar e normalizar, obtemos:

Passo 9

Para 1 lambda3 lambda3^2 :
Similarmente, resolvendo u3 = 1raiz3 1 -12 - iraiz32 -12 + iraiz32 , encontramos o autovetor . Após simplificar e normalizar, obtemos:

Resposta

Os autovalores de u1 = 1raiz3 1 1 1 , u2 = 1raiz3 1 -12 + iraiz32 -12 - iraiz32 , u3 = 1raiz3 1 -12 - iraiz32 -12 + iraiz32 são , e . Os autovetores normalizados correspondentes são:

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