Calcule o determinante da matriz
[rrrrr 0 & 3 & 3 & 3 & 3 1 & 1 & 1 & 1 & 1 -2 & -5 & -3 & -7 & -4 -1 & -7 & -7 & -8 & -5 -2 & 1 & 1 & 0 & 0 ]
Dica: Use algoritmo de cálculo do determinante via escalonamento.
(A) -24
(B) -23
© -19
(D) -18
(E) -20
(F) -21
(G) -17
(H) -22
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz 5x5 usando o método de escalonamento. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre operações com linhas de matrizes e como elas afetam o determinante. Vamos começar escalonando a matriz para transformá-la em uma matriz triangular superior, e depois calcular o determinante a partir dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original:
0 & 3 & 3 & 3 & 3 1 & 1 & 1 & 1 & 1 -2 & -5 & -3 & -7 & -4 -1 & -7 & -7 & -8 & -5 -2 & 1 & 1 & 0 & 0
Observamos que a primeira coluna tem um zero na primeira posição. Para facilitar, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha para que possamos ter um 1 na posição (1,1). Lembrando que trocar linhas multiplica o determinante por -1.

Passo 3

Após trocar a linha 1 com a linha 2, a matriz fica:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 -2 & -5 & -3 & -7 & -4 -1 & -7 & -7 & -8 & -5 -2 & 1 & 1 & 0 & 0
Como fizemos uma troca de linhas, o determinante agora será multiplicado por -1 no final.

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 1
  • Linha 4 = Linha 4 + Linha 1
  • Linha 5 = Linha 5 + 2 * Linha 1
Vamos realizar essas operações:
Linha 3:
-2 + 2*1 = 0 -5 + 2*1 = -3 -3 + 2*1 = -1 -7 + 2*1 = -5 -4 + 2*1 = -2
Linha 4:
-1 + 1 = 0 -7 + 1 = -6 -7 + 1 = -6 -8 + 1 = -7 -5 + 1 = -4
Linha 5:
-2 + 2*1 = 0 1 + 2*1 = 3 1 + 2*1 = 3 0 + 2*1 = 2 0 + 2*1 = 2
A matriz fica:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 0 & -3 & -1 & -5 & -2 0 & -6 & -6 & -7 & -4 0 & 3 & 3 & 2 & 2

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos um 3 na posição (2,2). Já temos isso, então vamos usar a linha 2 para zerar os elementos abaixo e acima dela na segunda coluna.
Primeiro, vamos zerar abaixo:
  • Linha 3 = Linha 3 + Linha 2
  • Linha 4 = Linha 4 + 2 * Linha 2
  • Linha 5 = Linha 5 - Linha 2
Linha 3:
0 + 0 = 0 -3 + 3 = 0 -1 + 3 = 2 -5 + 3 = -2 -2 + 3 = 1
Linha 4:
0 + 0 = 0 -6 + 2*3 = 0 -6 + 2*3 = 0 -7 + 2*3 = -1 -4 + 2*3 = 2
Linha 5:
0 - 0 = 0 3 - 3 = 0 3 - 3 = 0 2 - 3 = -1 2 - 3 = -1
A matriz fica:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 0 & 0 & 2 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & -1 & -1

Passo 6

Vamos agora trabalhar com a terceira coluna. Queremos um 2 na posição (3,3), o que já temos. Vamos zerar os elementos acima e abaixo dela.
Primeiro, vamos zerar abaixo:
  • Linha 4 = Linha 4 + 0 * Linha 3 (nenhuma mudança)
  • Linha 5 = Linha 5 + 0 * Linha 3 (nenhuma mudança)
Agora, vamos zerar acima:
  • Linha 2 = Linha 2 - (3/2) * Linha 3
  • Linha 1 = Linha 1 - (1/2) * Linha 3
Linha 2:
0 - 0 = 0 3 - 0 = 3 3 - 3 = 0 3 - (-3) = 6 3 - 1.5 = 1.5
Linha 1:
1 - 0 = 1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 1 - (-1) = 2 1 - 0.5 = 0.5
A matriz fica:
1 & 1 & 0 & 2 & 0.5 0 & 3 & 0 & 6 & 1.5 0 & 0 & 2 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & -1 & -1

Passo 7

Agora, vamos trabalhar com a quarta coluna. Queremos um -1 na posição (4,4). Já temos isso, então vamos usar a linha 4 para zerar os elementos acima e abaixo dela na quarta coluna.
Primeiro, vamos zerar abaixo:
  • Linha 5 = Linha 5 - Linha 4
Linha 5:
0 - 0 = 0 0 - 0 = 0 0 - 0 = 0 -1 - (-1) = 0 -1 - 2 = -3
Agora, vamos zerar acima:
  • Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 4
  • Linha 2 = Linha 2 - 6 * Linha 4
  • Linha 1 = Linha 1 - 2 * Linha 4
Linha 3:
0 + 0 = 0 0 + 0 = 0 2 + 0 = 2 -2 + 2*(-1) = -4 1 + 2*2 = 5
Linha 2:
0 - 0 = 0 3 - 0 = 3 0 - 0 = 0 6 - 6*(-1) = 12 1.5 - 6*2 = -10.5
Linha 1:
1 - 0 = 1 1 - 0 = 1 0 - 0 = 0 2 - 2*(-1) = 4 0.5 - 2*2 = -3.5
A matriz fica:
1 & 1 & 0 & 4 & -3.5 0 & 3 & 0 & 12 & -10.5 0 & 0 & 2 & -4 & 5 0 & 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & -3

Passo 8

Agora, nossa matriz está escalonada. O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal multiplicado pelas mudanças que fizemos (neste caso, apenas uma troca de linhas que multiplicou por -1).
Diagonal principal: 1, 3, 2, -1, -3
Produto:
Considerando a troca de linhas que multiplicou por -1:

Resposta

O determinante da matriz é -18.

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(A) é maior do que o volume de Q.
(B) é menor do que o volume de Q.
© pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(D) é igual ao volume de Q.
(E) Não sei
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Dica: defina vn=[cxn xn+1] e note que
vn+1=[rr 0 & 1 -3 & 76 / 5 ] vn para n=1,2,3, ldots
Portanto vn+1=[rr0 & 1 -3 & 76 / 5]^n v1.
(A) 2
(B) 6
© 8
(D) 4
(E) 5
(F) 3
(G) 9
(H) 7
(I) Não sei
Seja A uma matriz quadrada n times n com det A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - A não é sobrejetiva.
II - O conjunto de colunas de A é linearmente independente.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
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(D) Todas são verdadeiras.
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(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei