Seja T: R^3 R^3 a transformação
T(x, y, z)=(3 x-6 y+8 z, y5-2 z, z)
e seja Q subset R^3 um paralelepípedo com volume 7. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é maior do que o volume de Q.
(B) é menor do que o volume de Q.
© pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(D) é igual ao volume de Q.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear que pega vetores do espaço tridimensional e os transforma de uma maneira específica. O exercício pergunta como essa transformação afeta o volume de um paralelepípedo que inicialmente tem volume 7. Basicamente, queremos saber se o volume de vai ser maior, menor, igual ou se pode variar em relação ao volume original de 7.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que transformações lineares em espaços vetoriais podem alterar o volume de figuras geométricas. A quantidade dessa alteração depende do determinante da matriz que representa a transformação.

Passo 3

Vamos encontrar a matriz que representa a transformação T(x, y, z) = (3x - 6y + 8z, y5 - 2z, z) . A transformação é dada por:
A = 3 & -6 & 8 0 & 15 & -2 0 & 0 & 1
Então, a matriz que representa é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 3 times 15 times 1 = 35 . O determinante nos diz como o volume é escalado pela transformação.
Para uma matriz triangular (como a nossa, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então:

Passo 5

O determinante significa que o volume original será multiplicado por após a transformação. Como é menor que 1, o volume diminui.

Resposta

(B) é menor do que o volume de .

Exercícios relacionados

Considere a sequência formada pela lei de recorrência xn+2=-3 xn+765 xn+1, n=1,2,3, ldots. Se x1=35, para que valor de x2 temos lim n infty xn=0 ?
Dica: defina vn=[cxn xn+1] e note que
vn+1=[rr 0 & 1 -3 & 76 / 5 ] vn para n=1,2,3, ldots
Portanto vn+1=[rr0 & 1 -3 & 76 / 5]^n v1.
(A) 2
(B) 6
© 8
(D) 4
(E) 5
(F) 3
(G) 9
(H) 7
(I) Não sei
Sabemos que existe P inversível tal que:
[rrr 3 & -3 & 3 -2 & 3 & 4 8 & -9 & -4 ]=P[rrr -3 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b ] P^-1 com a
A 3a coluna da matriz P é múltipla de:
(A) [r-4 * -3]
(B) [r-4 * -1]
© [r-4 * -4]
(D) [r-4 * -2]
(E) Não sei
Calcule o determinante da matriz
[rrrrr 0 & 3 & 3 & 3 & 3 1 & 1 & 1 & 1 & 1 -2 & -5 & -3 & -7 & -4 -1 & -7 & -7 & -8 & -5 -2 & 1 & 1 & 0 & 0 ]
Dica: Use algoritmo de cálculo do determinante via escalonamento.
(A) -24
(B) -23
© -19
(D) -18
(E) -20
(F) -21
(G) -17
(H) -22
(I) Não sei
Seja A uma matriz quadrada n times n com det A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - A não é sobrejetiva.
II - O conjunto de colunas de A é linearmente independente.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei