Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear que pega vetores do espaço tridimensional e os transforma de uma maneira específica. O exercício pergunta como essa transformação afeta o volume de um paralelepípedo que inicialmente tem volume 7. Basicamente, queremos saber se o volume de vai ser maior, menor, igual ou se pode variar em relação ao volume original de 7.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que transformações lineares em espaços vetoriais podem alterar o volume de figuras geométricas. A quantidade dessa alteração depende do determinante da matriz que representa a transformação.
Passo 3
Vamos encontrar a matriz que representa a transformação . A transformação é dada por:
Então, a matriz que representa é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 3 times 15 times 1 = 35 . O determinante nos diz como o volume é escalado pela transformação.
Para uma matriz triangular (como a nossa, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então:
Passo 5
O determinante significa que o volume original será multiplicado por após a transformação. Como é menor que 1, o volume diminui.