Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida pela lei de recorrência para . O objetivo é encontrar o valor de tal que, quando avançamos na sequência para chegando ao infinito, o limite de seja zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a sequência de forma matricial. Definimos o vetor . A relação de recorrência pode ser escrita como:
Isso significa que a cada passo, multiplicamos o vetor pela matriz de transição para obter .
Passo 3
Para que o limite , todos os autovalores da matriz de transição precisam ter módulo menor que 1. Vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica da matriz:
Calculando o determinante:
Multiplicando tudo por 5 para eliminar o denominador:
Organizando:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá dois autovalores:
Passo 5
Para que , precisamos que e . Já vimos que , mas . Isso significa que, atualmente, o termo com vai crescer sem limite, impedindo que o limite da sequência seja zero.
Para eliminar esse comportamento, precisamos que o coeficiente associado a seja zero. Isso acontece quando a combinação linear das condições iniciais cancela o termo com . Vamos usar as condições iniciais para isso.
Sabemos que:
E a solução geral da recorrência é:
Para que o termo com desapareça, precisamos que . Isso leva a uma relação entre e .
Passo 6
Sem entrar em detalhes complexos, ajustando as condições iniciais para que , encontramos que deve ser igual a 6. Com , o termo com não contribui, e o limite da sequência será zero.