Seja A uma matriz quadrada n times n com det A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - A não é sobrejetiva.
II - O conjunto de colunas de A é linearmente independente.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

Então, temos uma matriz quadrada de ordem com determinante igual a zero ( ). O assunto aqui é Álgebra Linear, especificamente envolvendo determinantes, propriedades de matrizes e conceitos como sobrejetividade e independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o determinante ser zero e como isso afeta as propriedades da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se o determinante de uma matriz quadrada é zero ( ), isso significa que a matriz não é invertível. Uma matriz não invertível também é chamada de singular.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmativa I: " não é sobrejetiva". Em Álgebra Linear, uma transformação linear representada por uma matriz quadrada é sobrejetiva se para todo vetor no espaço de chegada, existe pelo menos um vetor no espaço de partida que se mapeia para ele. Como , não é invertível e, portanto, não é sobrejetiva. Logo, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Vamos para a afirmativa II: “O conjunto de colunas de é linearmente independente”. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras. Porém, quando , isso indica que as colunas de são linearmente dependentes. Portanto, a afirmativa II é falsa.

Resposta

A opção correta é a (A) Apenas I é verdadeira.

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Calcule o determinante da matriz
[rrrrr 0 & 3 & 3 & 3 & 3 1 & 1 & 1 & 1 & 1 -2 & -5 & -3 & -7 & -4 -1 & -7 & -7 & -8 & -5 -2 & 1 & 1 & 0 & 0 ]
Dica: Use algoritmo de cálculo do determinante via escalonamento.
(A) -24
(B) -23
© -19
(D) -18
(E) -20
(F) -21
(G) -17
(H) -22
(I) Não sei
Seja T: R^3 R^3 a transformação
T(x, y, z)=(3 x-6 y+8 z, y5-2 z, z)
e seja Q subset R^3 um paralelepípedo com volume 7. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é maior do que o volume de Q.
(B) é menor do que o volume de Q.
© pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(D) é igual ao volume de Q.
(E) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Sejam A uma matriz invertível, lambda um autovalor de A e H o respectivo autoespaço. Então lambda^-1 é autovalor de A^-1 e o autoespaço associado é H.
II - Os autovalores de A^T são sempre iguais aos de A.
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Seja F uma matriz 47 times 47 com 31 autovalores reais distintos diferentes de zero. Se seu posto é 31, então F é diagonalizável.
II - Se B não é diagonalizável, então seu polinômio característico possui pelo menos uma raiz complexa não-real.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei